[논문 리뷰] Translation-like Actions and Aperiodic Subshifts on Groups

Emmanuel Jeandel|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 26.

semigroups and automata theory참고 문헌 15인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 유한 생성된 군 $ G $ 위에서 유한 presentation을 가진 군 $ H $ 가 이동 유사 작용을 하며, $ H $ 가 약한 비주기적 유한형 상하이드(형상)를 갖는다면, $ G $ 역시 그러한 상하이드를 갖는다는 것을 증명한다. 핵심 기여는 하위군 포함관계를 초월하여 이동 유사 작용으로까지 비주기성의 유전성을 일반화한 것이다. 이를 통해 무한한 유한 생성 군의 직접곱과 비가역적 유한 생성 군들이 모두 약한 비주기적 SFT와 결정 불가능한 도미노 문제를 갖는다는 것을 증명한다.

ABSTRACT

It is well known that if $G$ admits a f.g. subgroup $H$ with a weaklyaperiodic SFT (resp. an undecidable domino problem), then $G$itself has a weakly aperiodic SFT (resp. an undecidable domino problem).We prove that we can replace the property "$H$ is a subgroup of $G$"by "$H$ acts translation-like on $G$", provided $H$ is finitely presented.In particular:* If $G\_1$ and $G\_2$ are f.g. infinite groups, then $G\_1 imes G\_2$ has a weakly aperiodic SFT (and actually a undecidable domino problem). In particular the Grigorchuk group has an undecidable domino problem. * Every infinite f.g. $p$-group admits a weakly aperiodic SFT.

연구 동기 및 목표

• 약한 비주기적 SFT의 유전성을 하위군 포함관계를 초월하여 더 넓은 군 작용의 범주로 확장하기.
• 유한 presentation을 가진 군 $ H $ 가 다른 군 위에서 이동 유사 작용을 할 때, 그러한 작용이 약한 비주기적 SFT의 존재성을 유지하는지 조사하기.
• 두 개의 무한한 유한 생성 군의 직접곱이 약한 비주기적 SFT와 결정 불가능한 도미노 문제를 갖는다는 것을 확립하기.
• 모든 무한한 유한 생성 $ p $-군이 약한 비주기적 SFT를 갖는다는 것을 보여주기.
• 이동 유사 작용과 군 위에서의 기호 동역학에서 도미노 문제의 결정 불가능성 간의 관계를 탐구하기.

제안 방법

• 군 $ G $ 의 카일리 그래프를 분할하여, $ H $ 의 카일리 그래프의 사본들로 구성된 그래프 분할로 이동 유사 작용을 정의한다. 이 과정에서 일부 간선을 제거한다.
• 유한 국소 제약 조건을 사용하여, $ G $ 위의 유한형 상하이드(subshift of finite type)에 이러한 이동 유사 작용의 존재를 인코딩한다.
• $ H $ 의 유한 표현성을 활용하여, 인코딩이 효과적이고 국소적이며, $ G $ 위에 SFT를 구성할 수 있음을 보장한다.
• 이전의 $ \bbZ \times G $ 작용 결과를 일반적인 유한 presentation을 가진 군 $ H $ 가 $ G $ 위에서 이동 유사 작용을 할 수 있도록 일반화한다.
• $ H = \bbZ $, $ H = B(1,n) $, $ H = \bbZ^2 $ 등의 특수한 경우에 적용하여, 직접곱과 비가역적 군에 대한 결과를 도출한다.
• 상하이드에서의 비주기성이 이동 유사 작용을 통해 $ G $ 위의 상하이드로 옮겨질 수 있음을 이용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 약한 비주기적 SFT의 유전성은 하위군 포함관계에서 이동 유사 군 작용으로까지 확장될 수 있는가?
• RQ2 유한 presentation을 가진 군 $ H $ 가 $ G $ 위에서 이동 유사 작용을 할 때, 어떤 조건에서 $ G $ 가 약한 비주기적 SFT를 갖는다는 것을 보장할 수 있는가?
• RQ3 두 개의 무한한 유한 생성 군의 직접곱은 항상 약한 비주기적 SFT와 결정 불가능한 도미노 문제를 갖는가?
• RQ4 도미노 문제가 작용하는 군에서 결정 가능하더라도, 이동 유사 작용을 통해 도미노 문제의 결정 불가능성이 유지되는가?
• RQ5 약한 비주기적 SFT의 존재성은 준등장성(invariant)이며, 이는 이동 유사 작용과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 유한 presentation을 가진 군 $ H $ 가 유한 생성 군 $ G $ 위에서 이동 유사 작용을 하며, $ H $ 가 약한 비주기적 SFT를 갖는다면, $ G $ 역시 약한 비주기적 SFT를 갖는다.
• 임의의 두 개의 무한한 유한 생성 군의 직접곱 $ G_1 \times G_2 $ 는 약한 비주기적 SFT와 결정 불가능한 도미노 문제를 갖는다.
• 그리고치크 군은 결정 불가능한 도미노 문제를 갖는다. 이는 무한한 유한 생성 $ p $-군이기 때문이다.
• 모든 무한한 유한 생성 $ p $-군은 약한 비주기적 SFT를 갖는다.
• 정규부분군이 $ \bbZ $ 와 동형인 유한 생성 군 $ G $ 는 유한 순환군이 아니면 결정 불가능한 도미노 문제를 갖는다.
• Baumslag-Solitar 군 $ B(1,n) $ 이며 $ n \notin \{1,-1\} $ 이면, $ G $ 위에서 이동 유사 작용을 하며, 이는 $ G $ 가 결정 불가능한 도미노 문제를 갖는다는 것을 의미한다.