[논문 리뷰] Translation of Einstein's Attempt of a Unified Field Theory with Teleparallelism

Alexander Unzicker, Timothy Case|ArXiv.org|2005. 03. 06.

Cosmology and Gravitation Theories인용 수 97

한 줄 요약

이 논문은 아인슈타인이 1925년에 발표한 텔레패러럴 통일장 이론의 초판 영문 번역을 처음으로 제시한다. 이 이론은 비대칭 접속 계수와 비대칭 계량 텐서 밀도를 사용하여 중력과 전자기력을 통합하고자 한다. 이 이론은 중력에 대한 파oisson 방정식과 첫 번째 근사에서 맥스웰 방정식을 도출하며, 이는 두 장의 기하학적 통합을 시사하지만, 아인슈타인은 입자에 대한 완전한 운동 방정식이 부족하다고 지적한다.

ABSTRACT

We present the first English translation of Einstein's original papers related to the teleparallel ('absolute parallelism', 'distant parallelism' and the German 'Fernparallelismus' are synonyms) attempt of an unified field theory of gravitation and electromagnetism. Our collection contains the summarizing paper in Math. Annal. 102 (1930) pp. 685-697 and 2 reports published in 'Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften' on June 7th, 1928 (pp. 217-221), June 14th, 1928 (pp. 224-227) and a precursor report (July 9th, 1925 pp. 414-419). To ease understanding, literature on tensor analysis is quoted in the footnotes.

연구 동기 및 목표

• 아인슈타인의 텔레패러럴 통일장 이론에 관한 1925년 세션 보고서의 첫 영문 번역을 제공하기 위해.
• 비대칭 애핀 접속과 비대칭 계량 텐서 밀도를 통해 중력과 전자기력을 통합하고자 한 아인슈타인의 尝시를 명확히 하기 위해.
• 이 이론이 첫 번째 근사에서 뉴턴의 중력 법칙과 맥스웰의 전자기학을 재현함을 보여주기 위해.
• 현대의 통일장 이론 및 일반 상대성 이론 연구자들에게 원본 수학적 공식과 유도 과정을 유지하고 제시하기 위해.

제안 방법

• 아인슈타인은 비대칭 애핀 접속 $\Gamma_{\alpha\beta}^\mu$ 를 허용하는 4차원 시공간을 구성하여 비대칭 곡률 텐서를 허용한다.
• 그는 반대칭 텐서 밀도 $\mathfrak{g}^{\mu\nu}$ 를 도입하고 리만 곡률과 접속 계수로부터 스칼라 밀도 $\mathfrak{H} = \mathfrak{g}^{\mu\nu} R_{\mu\nu}$ 를 구성한다.
• 행동 적분 $\mathcal{J} = \int \mathfrak{H} \, dx^1 dx^2 dx^3 dx^4$ 의 변분이 $\mathfrak{g}^{\mu\nu}$ 와 $\Gamma_{\alpha\beta}^\mu$ 를 독립 변수로 하여 0이 되도록 요구함으로써 장 방정식을 유도한다.
• 유도된 방정식들은 $R_{\mu\nu} = 0$ 과 64개의 방정식(5)를 포함하며, 이는 텐서 밀도와 추적 조건을 사용하여 구조를 단순화하기 위해 재구성된다.
• 텐서 밀도 $\mathfrak{f}^\mu$ 를 도입하고 대칭성과 추적 성질을 활용함으로써, 장 방정식은 더 간결한 형태(10)로 재작성되며, 추가 제약 조건(7)이 수반된다.
• 첫 번째 근사에서, 메트릭 편미분 $\bar{h}_{\mu\nu}$ 가 $h_{s\nu} = \delta_{s\nu} + \bar{h}_{s\nu}$ 를 통해 도입되어 선형화된 방정식이 유도되며, 이는 중력과 전자기적 부분으로 분리된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 텔레패러럴리즘에 기반한 통일장 이론이 첫 번째 근사에서 뉴턴의 중력 법칙과 맥스웰의 전자기학을 재현할 수 있는가?
• RQ2 비대칭 애핀 접속과 비대칭 계량 텐서 밀도는 중력과 전자기력을 통합하는 데 어떻게 기여하는가?
• RQ3 텐서 밀도 $\mathfrak{f}^\mu$ 는 장 방정식을 단순화하고 일관성을 확보하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 기존의 장 법칙을 복원했음에도 불구하고, 이 이론이 입자에 대한 완전한 운동 방정식을 도출하지 못하는 이유는 무엇인가?
• RQ5 좌표 변환은 선형화된 장 방정식의 공변성에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 변분 원리로부터 도출된 장 방정식은 $R_{\mu\nu} = 0$ 과 추적 및 대칭 조건 하에서 일관된 집합으로 줄어드는 64개의 방정식을 포함한다.
• 첫 번째 근사에서, 메트릭 편미분의 대칭 부분 $\bar{g}_{\alpha\mu}$ 는 $\bar{g}_{\alpha\mu,\sigma\sigma} = 0$ 과 $\bar{g}_{\alpha\mu,\mu} = 0$ 을 만족하며, 이는 중력에 대한 파oisson 방정식에 해당한다.
• 비대칭 부분 $a_{\alpha\mu}$ 는 $a_{\alpha\mu,\sigma\sigma} = 0$ 과 $a_{\alpha\mu,\mu} = 0$ 을 만족하며, 이는 진공에서 맥스웰 방정식에 해당한다.
• 선형, 직교 좌표 변환에 대해 이 이론은 공변성을 보이며, $\bar{h}_{\alpha\mu}$, $\bar{g}_{\alpha\mu}$, $a_{\alpha\mu}$ 에 대한 텐서 변환 법칙을 유지한다.
• 선형화 근사에서 중력과 전자기장이 분리되는 것은 관측된 두 힘의 독립성을 지지하지만, 아인슈타인은 전체 이론에서는 이들이 진정으로 분리 가능하지 않다고 지적한다.
• 기존의 장 방정식을 복원했음에도 불구하고, 입자에 대한 일관된 운동 방정식의 부재로 인해 이 이론은 여전히 불완전하다.