[논문 리뷰] Translation symmetry restoration under random unitary dynamics

Katja Klobas, Colin Rylands외 1명|arXiv (Cornell University)|2024. 06. 06.

Fractal and DNA sequence analysisBiochemistry, Genetics and Molecular Biology인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 양자 다체계에서 시간-공간 대칭성, 특히 이동 대칭성에 대해 관측 불변의 특성화를 확장한다. 무작위 유니터리 회로를 사용하여, 이동 대칭성 복원이 하위계 크기의 선형 스케일에서만 발생하며, 큰 하위계에서는 초깃 Zustand에 독립적인 시간에 도달하고, 중간 크기의 경우는 초기 대칭성 파괴가 클수록 복원 속도가 빨라지는 양자 Mpemba 효과를 보인다.

ABSTRACT

The finite parts of a large, locally interacting many-body system prepared out-of-equilibrium eventually equilibrate. Characterising the underlying mechanisms of this process and its timescales, however, is particularly hard as it requires to decouple universal features from observable-specific ones. Recently, new insight came by studying how certain symmetries of the dynamics that are broken by the initial state are restored at the level of the reduced state of a given subsystem. This provides a high level, observable-independent probe. Until now this idea has been applied to the restoration of internal symmetries, e.g. U(1) symmetries related to charge conservation. Here we show that that the same logic can be applied to the restoration of space-time symmetries, and hence can be used to characterise the relaxation of fully generic systems. We illustrate this idea by considering the paradigmatic example of "generic" many-body dynamics, i.e. a local random unitary circuit, where our method leads to exact results. We show that the restoration of translation symmetry in these systems only happens on time-scales proportional to the subsystem's volume. In fact, for large enough subsystems the time of symmetry restoration becomes initial-state independent (as long as the latter breaks the symmetry at time zero) and coincides with the thermalisation time. For intermediate subsystems, however, one can observe the so-called "quantum Mpemba effect", where the state of the system restores a symmetry faster if it is initially more asymmetric. We provide the first exact characterisation of this effect in a non-integrable system.

연구 동기 및 목표

• 내부 대칭성(예: U(1))에서 시간-공간 대칭성인 이동 불변성으로 관측 불변의 대칭성 복원 프레임워크를 확장하는 것.
• 무작위 유니터리 동역학 하에서 일반적인 국소적으로 상호작용하는 양자 시스템에서 이동 대칭성이 어떻게 복원되는지 특성화하는 것.
• 공간 대칭성 복원의 맥락에서, 더 파괴된 초깃 Zustand일수록 더 빠른 대칭성 복원이 일어나는 양자 Mpemba 효과가 나타나는지 조사하는 것.
• 무작위 유니터리 회로에서 하위계 크기와 초깃 Zustand 비대칭성에 따른 대칭성 복원 시간의 의존성을 규명하는 것.

제안 방법

• 하위계의 축소 밀도 행렬과 이동군에 대한 대칭화된 버전 사이의 거리 측정법을 정의하여 대칭성 파괴를 정량화한다.
• 진화된 상태와 그 이동된 복사본들 간의 차이의 프로베니우스 노름을 사용하여 대칭성 복원 동역학을 추적한다.
• 국소 하어-무작위 유니터리로 구성된 무작위 유니터리 회로에 이론을 적용하여, 내부 대칭성을 갖지 않지만 평균적으로 공간 이동 불변성을 유지하는 시스템을 고려한다.
• 주기 ν를 가진 스핀 나선과 같은 명시적인 이동 대칭성 파괴를 가진 초깃 Zustand를 구성하여, 初기 비대칭성의 영향을 조사한다.
• 회전 대칭성이 스핀 나선 안자에서 성립하는 것을 활용하여, 이동된 밀도 행렬을 포함하는 추적 표현을 사용해 대칭성 파괴 거리의 시간 진화를 계산한다.
• 하위계 크기 ℓ와 국소 힐베르트 공간 차원 q에 따른 복원 시간의 스케일링을 분석하여, 적절한 스케일링 하에서 곡선이 수렴함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 관측 불변의 대칭성 복원 프레임워크가 일반적인 양자 시스템에서 공간 대칭성인 이동 불변성에도 적용 가능한가?
• RQ2 무작위 유니터리 회로에서 이동 대칭성 복원의 스케일은 무엇이며, 하위계 크기에 어떻게 의존하는가?
• RQ3 공간 대칭성 파괴의 맥락에서, 더 파괴된 초깃 Zustand일수록 더 빠른 복원이 일어나는 양자 Mpemba 효과가 나타나는가?
• RQ4 국소 힐베르트 공간 차원 q는 이동 대칭성 복원의 동역학에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 큰 하위계에서는 대칭성 복원 시간이 초깃 Zustand에 독립적인가, 그리고 열적 평형 시간과 일치하는가?

주요 결과

• 큰 하위계에서는 ε-근사 이동 대칭성 복원에 도달하는 데 소요되는 시간이 하위계 크기 ℓ에 선형적으로 비례하며, 초깃 Zustand에 독립적이며, 이는 초기 상태가 대칭성을 파괴할 경우에만 성립한다.
• 큰 하위계에서 대칭성 복원 시간은 열적 평형 시간과 일치한다. 이는 초기 상태의 기억가지가 열적 평형 스케일에서만 소실된다는 것을 의미한다.
• 중간 크기의 하위계에서는 양자 Mpemba 효과가 관측된다: 초기 이동 대칭성 파괴가 클수록 대칭성이 더 빨리 복원된다.
• ν/(ν−1)로 스케일링한 후에는 대칭성 복원 동역학이 하나의 유니버설 곡선에 수렴한다. 이는 초기 대칭성 파괴의 정도(ν)가 효과를 뿐만 아니라 현상학적 특성 자체를 변화시키지 않음을 의미한다.
• 국소 힐베르트 공간 차원 q가 증가함에 따라, 대칭성 복원은 t=ℓ/2에서 헤비사이드 스텝 함수에 수렴하며, 이는 큰 q 근처에서 더 빠르고 날카로운 복원을 의미한다.
• 대칭성 파괴 거리의 최대값은 (ν−1)/ν이며, 이는 t=0에서 모든 이동된 상태가 원래 상태와 정수직일 때 도달된다. 이는 초깃 Zustand의 구조가 복원 동역학을 결정짓는 데 핵심적임을 확인한다.