[논문 리뷰] Transmitter Optimization for Achieving Secrecy Capacity in Gaussian MIMO Wiretap Channels

Jiangyuan Li, Athina P. Petropulu|ArXiv.org|2009. 09. 14.

Wireless Communication Security Techniques참고 문헌 21인용 수 61

한 줄 요약

이 논문은 가우시안 MIMO 편취 채널에서 전력 제약 조건 하에 비선형 최적화 문제를 해결하여 비밀성 용량을 달성하기 위한 송신기 최적화 프레임워크를 제안한다. MISO 케이스와 정의되지 않은 경우(한 개의 양성 고유값과 나머지 음성 고유값을 가짐)에 대해 닫힌 형태의 해를 유도하며, 일반적인 경우에 대해서는 반복 고정점 알고리즘을 제공하여 특정 조건 하에 랭크-일치 구조를 확립한다.

ABSTRACT

We consider a Gaussian multiple-input multiple-output (MIMO) wiretap channel model, where there exists a transmitter, a legitimate receiver and an eavesdropper, each node equipped with multiple antennas. We study the problem of finding the optimal input covariance matrix that achieves secrecy capacity subject to a power constraint, which leads to a non-convex optimization problem that is in general difficult to solve. Existing results for this problem address the case in which the transmitter and the legitimate receiver have two antennas each and the eavesdropper has one antenna. For the general cases, it has been shown that the optimal input covariance matrix has low rank when the difference between the Grams of the eavesdropper and the legitimate receiver channel matrices is indefinite or semi-definite, while it may have low rank or full rank when the difference is positive definite. In this paper, the aforementioned non-convex optimization problem is investigated. In particular, for the multiple-input single-output (MISO) wiretap channel, the optimal input covariance matrix is obtained in closed form. For general cases, we derive the necessary conditions for the optimal input covariance matrix consisting of a set of equations. For the case in which the transmitter has two antennas, the derived necessary conditions can result in a closed form solution; For the case in which the difference between the Grams is indefinite and has all negative eigenvalues except one positive eigenvalue, the optimal input covariance matrix has rank one and can be obtained in closed form; For other cases, the solution is proved to be a fixed point of a mapping from a convex set to itself and an iterative procedure is provided to search for it. Numerical results are presented to illustrate the proposed theoretical findings.

연구 동기 및 목표

• 가우시안 MIMO 편취 채널에서 전력 제약 조건 하에 비밀성 용량을 달성하는 최적의 입력 공분산 행렬을 찾는 비볼록 최적화 문제를 해결하기 위해.
• 기존 결과를 2×2×1 안테나 특수 케이스를 초월해 일반적인 MIMO 구성으로 확장하기 위해.
• 채널 공분산 행렬의 특정 구조적 가정 하에 최적성에 필요한 조건을 유도하고, 닫힌 형태의 해를 도출하기 위해.
• 닫힌 형태의 해가 존재하지 않는 경우에 대비해 반복 고정점 알고리즘을 개발하기 위해.
• 특정 조건 하에 최적의 입력 공분산 행렬이 랭크-일치임을 증명하여 효율적인 비드포밍 설계를 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 라그랑주 이중성과 행렬 분석을 사용하여 MIMO 편취 채널에서의 비밀성 용량 최적화 문제에 대한 필수 최적성 조건을 유도한다.
• 고유분해와 랭크 제약 조건을 활용하여 MISO 케이스(다중 입력, 단일 출력)에 대해 최적화 문제를 닫힌 형태로 해결한다.
• 2안테나 송신기 케이스에서는 문제를 해결 가능한 방정식 집합으로 축소하여 닫힌 형태의 해를 도출한다.
• 편취자와 정상 수신기 채널 공분산 행렬 간의 차이가 정의되지 않은 경우(정확히 한 개의 양성 고유값과 나머지가 음성 고유값)에, 최적의 비드포밍 행렬이 랭크-일치이며 닫힌 형태로 계산 가능하다는 것을 증명한다.
• 기타 모든 경우에 대해서는, 볼록 집합에서 자신으로 사상되는 사상의 고정점을 문제의 해로 정의하여 반복 알고리즘을 통한 수렴 가능성을 확보한다.
• 고유분해와 행렬 부등식 분석을 활용하여 최적 공분산 행렬의 구조적 성질을 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비밀성 용량을 위한 최적의 입력 공분산 행렬이 랭크-일치가 되는 채널 조건은 무엇인가?
• RQ2 일반적인 구성에서 MIMO 편취 채널의 비밀성 용량 최적화 문제는 닫힌 형태로 해결될 수 있는가?
• RQ3 전력 제약 조건 하에서 일반적인 MIMO 편취 채널에서 최적의 입력 공분산 행렬에 대한 필수 조건는 무엇인가?
• RQ4 닫힌 형태의 해가 존재하지 않을 경우, 비볼록 비밀성 용량 최적화 문제를 어떻게 효율적으로 해결할 수 있는가?
• RQ5 정상 수신기와 편취자 채널의 공분산 행렬 간의 차이가 정의되지 않은 경우에 최적 비드포밍 설계에서 나타나는 구조적 성질은 무엇인가?

주요 결과

• MISO 편취 채널의 경우 최적의 입력 공분산 행렬이 닫힌 형태로 도출되어 비밀성 용량을 달성하는 비드포밍을 직접 계산할 수 있다.
• 송신기가 2개의 안테나를 가진 경우, 필수 조건이 최적의 비드포밍 벡터에 대한 닫힌 형태의 해로 이어진다.
• 편취자와 정상 수신기 채널의 공분산 행렬 간의 차이가 정의되지 않으며 정확히 한 개의 양성 고유값과 나머지가 음성 고유값을 가질 경우, 최적의 입력 공분산 행렬은 랭크-일치이며 닫힌 형태로 계산 가능하다.
• 기타 모든 경우에 대해서는 최적의 해가 볼록 집합에서 자신으로 사상되는 사상의 고정점이며, 이를 계산하기 위해 반복 알고리즘을 제안한다.
• 이론적 분석을 통해 랭크-일치 조건 하에서 비드포밍 벡터가 변형된 채널 행렬의 주요 고유벡터와 일치함을 증명하여 비밀성 비율 최적화를 보장한다.
• 수치적 결과는 이론적 결과를 검증하며 반복 알고리즘의 수렴성과 비최적화 비드포밍 대비 성능 향상을 보여준다.