[논문 리뷰] Transport Dependency: Optimal Transport Based Dependency Measures

Thomas Giacomo Nies, Thomas Staudt외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 05. 05.

Statistical Methods and Inference인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 일반 프로이트 공간 위의 랜덤 변수들 간의 통계적 종속성에 대한 최적 운반 기반 신규 측도인 운반 종속성(transport dependency)을 제안한다. 기저 비용 함수를 사용해 연합 분포를 주변 분포의 곱으로 변환하는 데 드는 비용을 정량화함으로써, 영종속성은 0 종속성으로 특징지어지고, 명확한 해석성과 일관된 추정을 보장하는 정규화된 상관계수 측도를 가능하게 한다. 이는 비메트릭 유사도 측도를 사용하는 고차원 유전자 발현 데이터에서도 강건한 성능을 보이며 검증되었다.

ABSTRACT

Finding meaningful ways to measure the statistical dependency between random variables $ξ$ and $ζ$ is a timeless statistical endeavor. In recent years, several novel concepts, like the distance covariance, have extended classical notions of dependency to more general settings. In this article, we propose and study an alternative framework that is based on optimal transport. The transport dependency $τ\ge 0$ applies to general Polish spaces and intrinsically respects metric properties. For suitable ground costs, independence is fully characterized by $τ= 0$. Via proper normalization of $τ$, three transport correlations $ρ_α$, $ρ_\infty$, and $ρ_*$ with values in $[0, 1]$ are defined. They attain the value $1$ if and only if $ζ= φ(ξ)$, where $φ$ is an $α$-Lipschitz function for $ρ_α$, a measurable function for $ρ_\infty$, or a multiple of an isometry for $ρ_*$. The transport dependency can be estimated consistently by an empirical plug-in approach, but alternative estimators with the same convergence rate but significantly reduced computational costs are also proposed. Numerical results suggest that $τ$ robustly recovers dependency between data sets with different internal metric structures. The usage for inferential tasks, like transport dependency based independence testing, is illustrated on a data set from a cancer study.

연구 동기 및 목표

• 일반 프로이트 공간 위의 랜덤 변수들 간의 통계적으로 해석 가능한, 거리 구조를 유지하는 종속성 측도를 개발하는 것.
• 적절한 비용 함수 하에서 운반 종속성 값이 0이면 독립성을 특징짓는 것.
• 한 변수가 다른 변수의 결정론적 함수일 때만 1에 도달하는 정규화된 상관계수 측도(ρα, ρ∞, ρ∗)를 정의하는 것.
• 표본 플러그인 방법보다 복잡도를 감소시킨 일관된 계산 효율적인 추정기들을 제공하는 것.
• 실제 추론 과제, 예를 들어 고차원 생물학적 데이터에서의 독립성 검정 등에서 방법의 유용성을 입증하는 것.

제안 방법

• 연합 분포 γ와 주변 분포의 곱 μ⊗ν 사이의 최적 운반 비용인 운반 종속성 τ(γ) = T_c(γ, μ⊗ν)를 제안한다.
• X×Y 위의 기저 비용 함수 c를 사용해 운반 비용을 정의하며, τ=0이면 γ=μ⊗ν(독립성)과 동치이다.
• 세 가지 정규화된 상관계수 측도를 정의한다: ρα(α-립시츠 함수), ρ∞(가측 함수), ρ∗(등장성 다중 함수), 모두 [0,1] 범위에 속한다.
• τ에 대한 표본 플러그인 추정기를 도입하며 일관성 보장을 제공하고, 동일한 수렴 속도를 유지하면서도 계산 비용을 낮춘 대안 추정기들을 제안한다.
• 교환 가능성 하에 근본 분포를 활용해 순열 검정을 통한 독립성 검정을 적용한다.
• 입력 공간 X에 비메트릭 유사도(예: 유전자 발현 상관계수 κ)를 비용으로 사용하고, 반응 변수 Y에 절대 차이를 비용으로 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최적 운반을 사용해 거리 구조를 내재적으로 존중하면서도 τ=0일 때 독립성을 특징짓는 종속성 측도를 정의할 수 있는가?
• RQ2 운반 종속성은 어떻게 정규화되어야 하며, [0,1] 범위 내에서 명확한 기능적 종속성 의미를 가진 해석 가능한 상관계수를 도출할 수 있는가?
• RQ3 일관된 표본 추정기와 동일한 수렴 속도를 유지하면서도 계산 비용을 줄인 대안 추정기 사이의 계산적 트레이드오프는 무엇인가?
• RQ4 운반 종속성은 비메트릭 유사도 측도를 사용하는 고차원 비메트릭 데이터, 예를 들어 유전자 발현 프로파일에서 의미 있는 종속성을 탐지할 수 있는가?
• RQ5 복잡한 생물학적 데이터에서 구조적 종속성을 탐지하는 데 기존 측도인 거리 상관계수나 상호정보량보다 성능이 뛰어나게 되는가?

주요 결과

• 비용 함수가 메트릭이면 운반 종속성 τ는 변수들이 통계적으로 독립일 때에만 0이 된다.
• 정규화된 상관계수 ρα, ρ∞, ρ∗는 각각 φ가 α-립시츠 함수, 가측 함수, 등장성 다중 함수일 때에만 1에 도달한다.
• 표본 플러그인 추정기를 사용해 τ의 일관된 추정이 가능하며, 대안 추정기들은 동일한 수렴 속도를 유지하면서 계산 비용을 감소시킨다.
• 유방암 유전자 발현 데이터셋에서 τ는 유전자 발현과 에스트로겐 수용체 상태 간 강한 종속성(τ=0.630, p=0.001)과 전이 여부 간 종속성(τ=0.378, p=0.006)을 탐지했으며, 혈관 침투성에 대해서는 독립성을 기각하지 못했다(p=0.220).
• 비메트릭 유사도 측도를 사용하는 고차원 공간에서도 구조적 종속성을 성공적으로 식별하며, 메트릭 구조가 필요로 하는 기존 방법들을 능가한다.
• 수치 실험에서 r=5000 및 n<100 조건 하에, 운반 종속성은 다양한 내부 메트릭 구조를 가진 상황에서도 종속성을 강건하게 복원한다.