[논문 리뷰] Transposed Poisson algebras, Novikov-Poisson algebras and 3-Lie algebras

Chengming Bai, Ruipu Bai외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 03.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 38인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 전치된 파스칼 대수를 파스칼 대수의 쌍대 구조로 도입하며, 교환 법칙과 결합 법칙을 가진 대수의 곱이 리 괄호 위에서 스케일링된 도함수 역할을 하는 전치된 리브니츠 법칙을 통해 정의된다. 주요 기여는 전치된 파스칼 대수가 노비코프-파스칼 대수로부터 공액자 구성에 의해 자연스럽게 유도되며, 강도 조건을 요구하지 않고 더 강력한 3-리 대수 구조를 가능하게 하여, 두 주요 구성 과정 모두에서 전치된 파스칼 3-리 대수를 도출한다는 것이다.

ABSTRACT

We introduce a dual notion of the Poisson algebra by exchanging the roles of the two binary operations in the Leibniz rule defining the Poisson algebra. We show that the transposed Poisson algebra thus defined not only shares common properties of the Poisson algebra, including the closure under taking tensor products and the Koszul self-duality as an operad, but also admits a rich class of identities. More significantly, a transposed Poisson algebra naturally arises from a Novikov-Poisson algebra by taking the commutator Lie algebra of the Novikov algebra. Consequently, the classic construction of a Poisson algebra from a commutative associative algebra with a pair of commuting derivations has a similar construction of a transposed Poisson algebra when there is one derivation. More broadly, the transposed Poisson algebra also captures the algebraic structures when the commutator is taken in pre-Lie Poisson algebras and two other Poisson type algebras. Furthermore, the transposed Poisson algebra improves two processes in~[17] that produce 3-Lie algebras from Poisson algebras with a strongness condition. When transposed Poisson algebras are used in one process, the strongness condition is no longer needed and the resulting 3-Lie algebra gives a transposed Poisson 3-Lie algebra. In the other process, the resulting 3-Lie algebra is shown to again give a transposed Poisson 3-Lie algebra.

연구 동기 및 목표

• 리브니츠 법칙에서 교환 법칙과 결합 법칙을 가진 곱과 리 괄호의 역할을 뒤바꿔 파스칼 대수의 쌍대 구조를 정의하고 연구하는 것.
• 전치된 파스칼 대수가 텐서 곱에 대해 닫혀 있고, 작도적 쌍대성으로서의 코즐러 자가쌍대성을 유지하는 등의 핵심 성질을 상속한다는 것을 확립하는 것.
• 노비코프-파스칼 대수의 노비코프 곱의 공액자 구성에 의해 전치된 파스칼 대수가 자연스럽게 유도됨을 보여주는 것.
• 기존의 파스칼 대수에서 3-리 대수를 구성하는 두 가지 방법을 개선하여 강도 조건이 필요 없도록 하는 것.
• 이러한 구성 과정을 통해 유도된 3-리 대수가 원래 파스칼 대수가 강도 조건을 만족하지 않더라도 여전히 전치된 파스칼 3-리 대수임을 증명하는 것.

제안 방법

• 벡터 공간 $L$ 에서 모든 $x,y,z$ 에 대해 $2z\cdot[x,y] = [z\cdot x,y] + [x,z\cdot y]$ 를 만족하는 전치된 리브니츠 법칙을 도입하여 전치된 파스칼 대수를 정의한다.
• 노비코프-파스칼 대수의 노비코프 대수에서의 공액자가 전치된 파스칼 대수를 유도함을 보여, 기존의 대수적 구조와의 연결 고리를 확립한다.
• 도함수를 이용하여 전치된 파스칼 대수에서 3-리 대수를 구성하고, 유도된 삼항 연산이 3-리 대수의 공리를 만족함을 증명한다.
• 공식 $[x,y,z] = \mathrm{Id} \wedge D_1 \wedge D_2(x,y,z)$ 를 통한 3-리 대수 구성이 강도 조건 없이도 전치된 파스칼 3-리 대수를 유도함을 보여준다.
• 원래 파스칼 대수가 더 약한 조건(식 7)을 만족할 경우에도 3-리 대수 구성이 여전히 전치된 파스칼 3-리 대수를 유도함을 증명한다.
• 작도적 쌍대성과 범주론적 성질을 이용하여 전치된 파스칼 대수가 파스칼 대수와 독립적이며, 작도적으로 자가쌍대임을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리브니츠 법칙에서 교환 법칙과 결합 법칙을 가진 곱과 리 괄호의 역할을 뒤바꿔 파스칼 대수의 쌍대 개념을 정의할 수 있는가?
• RQ2 노비코프-파스칼 대수의 노비코프 대수에서의 공액자가 전치된 파스칼 대수를 유도하는가?
• RQ3 원래 파스칼 대수에 강도 조건이 필요 없이 전치된 파스칼 대수에서 3-리 대수를 구성할 수 있는가?
• RQ4 이러한 구성 과정을 통해 유도된 3-리 대수가 반드시 전치된 파스칼 3-리 대수인가?
• RQ5 삼중항 $(L,\cdot,[\;,\;,\;])$ 이 파스칼 3-리 대수이자 전치된 파스칼 3-리 대수인 동시에 성립하기 위한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 전치된 파스칼 대수는 표준 파스칼 대수와는 달리 두 연산의 역할을 바꾼 조건 $2z\cdot[x,y] = [z\cdot x,y] + [x,z\cdot y]$ 에 의해 정의된다.
• 전치된 파스칼 대수는 텐서 곱에 대해 닫혀 있으며, 작도적으로 자가쌍대이므로 파스칼 대수의 핵심 성질을 그대로 유지한다.
• 노비코프-파스칼 대수의 노비코프 곱의 공액자가 전치된 파스칼 대수를 유도함으로써 중요한 대수적 구조와의 자연스러운 연결 고리를 확립한다.
• 전치된 파스칼 대수에서 도함수를 이용한 3-리 대수 구성 과정은 더 이상 원래 파스칼 대수의 강도 조건을 요구하지 않으며, 이는 이전 결과를 일반화한다.
• 원래 파스칼 대수가 강도 조건을 만족하지 않더라도, 이러한 구성 과정을 통해 유도된 3-리 대수는 여전히 전치된 파스칼 3-리 대수임을 보여준다.
• 삼중항 $(L,\cdot,[\;,\;,\;])$ 이 전치된 파스칼 3-리 대수임과 동시에 파스칼 3-리 대수이기 위한 필요충분조건은 모든 혼합 곱 $u\cdot[x,y,z]$ 와 $[u\cdot x,y,z]$ 가 0이 되는 것이다.