[논문 리뷰] Transposes, L-Eigenvalues and Invariants of Third Order Tensors

Liqun Qi|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 05.

Tensor decomposition and applications참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 제3차 텐서를 제1차 및 제2차 텐서 상호 간의 선형 연산자로 간주함으로써 제3차 텐서에 대한 체계적인 프레임워크를 제안한다. 새로운 개념으로 전치, 핵심 텐서, L-고유값, L-역행렬을 정의하며, 주요 기여는 L-고유값, 특이값, 기타 스펙트럼 불변량이 텐서 불변량임을 규명한 것이다. 이는 압전 및 리비치비타 텐서와 같은 기본 텐서에 응용되며, 제3차 대칭 텐서가 일곱 개의 독립 불변량을 가진다는 추측을 제기한다.

ABSTRACT

Third order tensors have wide applications in mechanics, physics and engineering. The most famous and useful third order tensor is the piezoelectric tensor, which plays a key role in the piezoelectric effect, first discovered by Curie brothers. On the other hand, the Levi-Civita tensor is famous in tensor calculus. In this paper, we study third order tensors and (third order) hypermatrices systematically, by regarding a third order tensor as a linear operator which transforms a second order tensor into a first order tensor, or a first order tensor into a second order tensor. For a third order tensor, we define its transpose, kernel tensor and L-eigenvalues. Here, "L" is named after Levi-Civita. The transpose of a third order tensor is uniquely defined. In particular, the transpose of the piezoelectric tensor is the inverse piezoelectric tensor (the electrostriction tensor). The kernel tensor of a third order tensor is a second order positive semi-definite symmetric tensor, which is the product of that third order tensor and its transpose. We define L-eigenvalues, singular values, C-eigenvalues and Z-eigenvalues for a third order tensor. They are all invariants of that third order tensor. For a third order partially symmetric tensor, we give its eigenvector decomposition. The piezoelectric tensor, the inverse piezoelectric tensor, and third order symmetric tensors are third order partially symmetric tensors. We make a conjecture a third order symmetric tensor has seven independent invariants. We raise the questions on how may independent invariants a third order tensor, a third order partially symmetric tensor and a third order cyclically symmetric tensor may have respectively.

연구 동기 및 목표

• 제1차 및 제2차 텐서 간의 선형 연산자로 간주함으로써 제3차 텐서에 대한 체계적인 이론을 개발하기 위해.
• 제3차 텐서에 대해 L-고유값, 특이값, C-고유값과 같은 텐서 불변 스펙트럼 양을 정의하기 위해.
• 정규직교 변환에 대해 유지되는 불변량을 도입함으로써 텐서 성질과 초행렬 성질의 차이를 명확히 하기 위해.
• 이 프레임워크 내에서 압전 및 리비치비타 텐서와 같은 주요 물리적 텐서의 대수적 및 기하적 구조를 조사하기 위해.
• 다양한 종류의 제3차 텐서에 대해 독립 불변량의 수에 관한 열린 질문을 제기하기 위해.

제안 방법

• 제3차 텐서의 전치를 정의하며, 이는 변환 방향을 뒤집는 유일한 연산으로, 세 번 적용하면 원래 텐서로 복원된다.
• 핵심 텐서를 제3차 텐서와 그 전치의 곱으로 정의하며, 항상 양의 준정부정 대칭 제2차 텐서이다.
• L-역행렬을 정의하며, 이는 원래 텐서의 출력에 대해 적용했을 때 입력을 유일하게 복원하는 유일한 역행렬로, 텐서가 비특이일 때에만 존재한다.
• 식 $ \mathcal{A} \mathbf{z} = \sigma \mathcal{A}^\top \mathbf{z} $ 를 통해 L-고유값을 정의하며, 여기서 $ \sigma $ 는 L-고유값이고 $ \mathbf{z} $ 는 관련된 벡터이다.
• L-고유값, 특이값, C-고유값, Z-고유값이 모두 정규직교 변환에 대해 불변임을 규명한다.
• 리비치비타 텐서를 표준 예시로 삼아 이론을 시연하며, 비특이성, L-고유값 $ \sqrt{2} $, 핵심 텐서 $ 2\mathbf{I} $, 역행렬 $ \frac{1}{2}\mathcal{E} $ 를 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제3차 텐서에 대해 행렬 전치 및 고유값의 올바른 텐서 이론적 대응은 무엇인가?
• RQ2 제3차 대칭 텐서는 몇 개의 독립 불변량을 가지며, 그것들은 무엇인가?
• RQ3 제3차 텐서의 L-역행렬은 유일하게 정의될 수 있으며, 물리적 변환에서 출력으로부터 입력을 복원하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ4 선택적 오른쪽 또는 왼쪽 대칭성 같은 성질들이 정규직교 변환에 대해 유지되는가? 그리고 그것들은 어떻게 대수적으로 기술할 수 있는가?
• RQ5 대칭 제3차 텐서에 대해 Z-고유값, L-고유값, 특이값 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 제3차 텐서의 전치는 유일하게 정의되며, $ \mathcal{A}^{\top\top\top} = \mathcal{A} $ 를 만족하며, 행렬 전치 성질을 일반화한다.
• 제3차 텐서의 핵심 텐서는 $ \mathcal{A} \mathcal{A}^\top $ 로 구성되며, 항상 양의 준정부정 대칭 제2차 텐서이며, 정규직교 변환에 대해 불변이다.
• 제3차 텐서의 L-역행렬은 텐서가 비특이일 때에만 존재하며, 원래 변환의 출력으로부터 입력 벡터를 유일하게 복원한다.
• 리비치비타 텐서 $ \mathcal{E} $ 에 대해 L-고유값은 모두 $ \sqrt{2} $ 이며, 핵심 텐서는 $ 2\mathbf{I} $ 이고, 역행렬은 $ \frac{1}{2}\mathcal{E} $ 이다.
• 압전 텐서의 역행렬은 압전 텐서의 L-역행렬이며, 변환 $ \mathbf{z t = \mathcal{A}^{-1} \mathbf{U} $ 은 변형으로부터 전기장의 복원을 가능하게 한다.
• 제3차 대칭 텐서가 3차원에서 정확히 일곱 개의 독립 불변량을 가진다는 추측을 제기하며, 일반적인 대칭 초행렬의 일곱 개의 E-고유값에 기반한다.