[논문 리뷰] Transversal Twistor Spaces of Foliations

Izu Vaisman|ArXiv.org|1999. 11. 06.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 여부의 수반 구조를 가진 코디멘션 짝수인 분할에 대해 횡단 스핀터 공간을 도입하며, Bott 접속을 사용하여 스핀터 배럴 ZF 상에 분할 F'를 구성한다. 이는 유도된 거의 복소 구조 I의 적분 가능성과 횡단 프로젝티브 구조의 평탄성 사이의 대응관계를 확립하며, J는 결코 적분 가능하지 않다. I 또는 J의 프로젝티브성은 분할 F에 대한 추가적인 기하학적 및 코homological 조건을 필요로 한다.

ABSTRACT

The transversal twistor space of a foliation F of an even codimension is the bundle ZF of the complex structures of the fibers of the transversal bundle of F. On ZF, there exists a foliation F' by covering spaces of the leaves of F, and any Bott connection of F produces an ordered pair (I,J) of transversal almost complex structures of F'. The existence of a Bott connection which yields a structure I that is projectable to the space of leaves is equivalent to the fact that F is a transversally projective foliation. A Bott connection which yields a projectable structure J exists iff F is a transversally projective foliation which satisfies a supplementary cohomological condition, and, in this case, I is projectable as well. J is never integrable. The essential integrability condition of I is the flatness of the transversal projective structure of F.

연구 동기 및 목표

• 코디멘션 짝수인 분할 F에 대해 횡단 스핀터 공간 ZF를 정의하고 연구하는 것.
• Bott 접속으로 유도된 ZF 상의 유도된 분할 F'를 분석하는 것.
• F' 상의 횡단 거의 복소 구조 I와 J가 분할 F의 잎 공간으로 프로젝티브해지는 조건을 규명하는 것.
• I의 적분 가능성과 J의 비적분 가능성 조건을 F의 기하학적 및 코homological 성질로 특성화하는 것.
• 횡단 프로젝티브 구조의 평탄성과 I의 적분 가능성 사이의 정확한 대응관계를 확립하는 것.

제안 방법

• 분할 F의 횡단 벡터 백서의 섬유 상의 복소 구조들로 이루어진 번들로서 횡단 스핀터 공간 ZF를 구성하는 것.
• 분할 F의 잎들의 커버링 공간을 통해 분할 F를 ZF 상의 분할 F'로 올리는 것.
• F의 Bott 접속을 사용하여 F' 상에 횡단 거의 복소 구조의 순서쌍 (I, J)를 유도하는 것.
• 기하학적 및 코homological 기준을 사용하여 I와 J가 분할 F의 잎 공간으로 프로젝티브해지는지 분석하는 것.
• I가 적분 가능함은 물론이고, 횡단 프로젝티브 구조가 평탄할 때에만 성립함을 증명하는 것.
• J는 분할의 성질과는 무관하게 결코 적분 가능하지 않다는 것을 보여주는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분할 F의 잎 공간으로 분할 F' 상의 횡단 거의 복소 구조 I가 프로젝티브해지는 조건은 무엇인가?
• RQ2 F에 대한 Bott 접속이 분할 F' 상에 프로젝티브한 구조 J를 유도하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 I의 적분 가능성과 분할 F의 횡단 프로젝티브 구조의 평탄성 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 왜 분할 F' 상의 구조 J는 항상 비적분 가능한가?
• RQ5 분할 F에 대한 기하학적 및 코homological 조건은 유도된 구조 I와 J의 존재성과 성질에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• Bott 접속이 프로젝티브한 I를 유도하는 것은 F가 횡단적으로 프로젝티브 분할임과 동치이다.
• Bott 접속이 프로젝티브한 J를 유도하는 것은 F가 횡단적으로 프로젝티브이고 추가적인 코homological 조건을 만족할 때에만 성립한다.
• 그러한 J가 존재할 경우, 구조 I 역시 프로젝티브해진다.
• 구조 I는 횡단 프로젝티브 구조가 평탄할 때에만 적분 가능하다.
• 구조 J는 분할의 성질과는 무관하게 항상 비적분 가능하다.
• 횡단 스핀터 공간 ZF는 분할 F의 기하학을 그 잎들의 커버링 공간을 통해 올리는 분할 F'를 지닌다.