[논문 리뷰] Transversality theory, cobordisms, and invariants of symplectic quotients

Shaun Martin|ArXiv.org|2000. 01. 01.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 21인용 수 27

한 줄 요약

이 논문은 해밀턴 토러스 작용으로부터 유도되는 심플렉틱 몫의 불변량을 계산하기 위한 코버디즘 이론적 프레임워크를 수립한다. 고정점 근처에서 수준집합 μ⁻¹(p)가 구의 번들을 포함하는 분리합집합과 코버디즘적임을 보여줌으로써, 심플렉틱 체적과 타원형 미분연산자의 지수와 같은 불변량에 대한 명시적인 코homological 및 K-이론적 공식을 유도하며, Duistermaat-Heckman 및 Guillemin-Sternberg와 같은 기존 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

This paper gives methods for understanding invariants of symplectic quotients. The symplectic quotients considered here are compact symplectic manifolds (or more generally orbifolds), which arise as the symplectic quotients of a symplectic manifold by a compact torus. (A companion paper examines symplectic quotients by a nonabelian group, showing how to reduce to the maximal torus.) Let X be a symplectic manifold, with a Hamiltonian action of a compact torus T. The main topological result of this paper describes an explicit cobordism that exists between a symplectic quotient of X by T, and a collection of iterated projective bundles over components of the set of T-fixed-points. The characteristic classes of these bundles can be determined explicitly, and another result uses this to give formulae for integrals of cohomology classes over the symplectic quotient, in terms of data localized at the T-fixed points of X.

연구 동기 및 목표

• 해밀턴 토러스 작용으로부터 유도되는 심플렉틱 몫 X//T(p)의 불변량을 계산하기 위한 일반적 프레임워크를 개발하는 것.
• X//T(p)의 어떤 불변량이 μ⁻¹(p)의 T-등변 코버디즘 클래스에만 의존하는지 특성화하는 것.
• Duistermaat-Heckman 정리 및 기하학적 양자화와 같은 기존 결과를 더 넓은 범위의 불변량으로 확장하는 것.
• 고정점에서 국소화된 데이터를 사용하여 코homological 페어링과 K-이론적 지수에 대한 명시적 공식을 제공하는 것.

제안 방법

• 등변 코버디즘 이론을 사용하여 X'에서의 등변 코버디즘 클래스 [μ⁻¹(p)] ∈ 𝒰_T^*(X')를 정의한다. 여기서 X'는 유한한 안정자군을 가진 점들의 집합이다.
• 모멘트 맵의 다른 정상값에서의 심플렉틱 몫 사이의 벽을 넘는 코버디즘 W/T를 구성한다.
• 고정점 F_i ∈ X^T 근처에서 μ⁻¹(p)가 d중의 홀수 차원 구의 번들의 분리합집합과 코버디즘적임을 증명한다.
• 방향성 이론과 심플렉틱 기하학을 이용하여 코버디즘의 경계 성분들에 대한 적절한 방향성을 결정한다.
• 등변 코homology 클래스와 몫의 불변량을 연결하기 위해 Kirwan 사상 κ: H_T^*(X;ℚ) → H_T^*(X//T(p);ℚ)를 적용한다.
• 분해 T = T' × H를 통해 일반적인 경우를 1차원 토러스의 경우로 줄여내며, 이를 통해 귀납적 방향성 및 코버디즘 추론을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 심플렉틱 몫 X//T(p)의 어떤 불변량이 μ⁻¹(p)의 등변 코버디즘 클래스에만 의존하는가?
• RQ2 코homological 페어링 ∫_{X//T(p)} κ(a) ⌣ κ(b)는 T-고정점에서 국소화된 데이터로 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ3 수준집합 μ⁻¹(p)와 고정점 집합 X^T 근처의 부분다양체 사이의 정확한 코버디즘 관계는 무엇인가?
• RQ4 벽을 넘는 코버디즘의 경계 성분들에 대한 방향성은 심플렉틱 및 자연적인 기하학적 방향성과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 수준집합 μ⁻¹(p)는 고정점 F_i ∈ X^T 근처의 작은 이웃에서 각각 d중의 홀수 차원 구 𝒮(F_i)의 분리합집합과 코버디즘적이다.
• 몫 𝒮(F_i)/T는 F_i 위에서의 가중치가 부여된 프로젝션 번들의 d중 타워로 기술될 수 있는 오비폴드이다.
• 코homological 페어링 ∫_{X//T(p)} κ(a) ⌫ κ(b)는 고정점 F_i에서 국소화된 특성류에 의해 완전히 결정된다.
• 경계 성분 X//T(p₀)의 방향성은 −(ω_{p₀})^k이며, X//T(p₁)의 방향성은 +(ω_{p₁})^k이며, 이는 심플렉틱 방향성과 일치한다.
• 벽을 넘는 코버디즘 W(X,T,μ,Z)는 1차원 토러스 작용에 대한 코버디즘과 국소적으로 동치이며, 이는 일반적인 경우를 1차원의 경우로 줄일 수 있게 한다.
• K-이론적 지수 공식은 Kirwan 사상과 코버디즘 관계의 K-이론적 유사체를 사용하여 유사하게 도출될 수 있다.