[논문 리뷰] Transverse Dynamics and Regions of Stability for Nonlinear Hybrid Limit Cycles

Ian R. Manchester|arXiv (Cornell University)|2010. 10. 11.

Robotic Locomotion and Control참고 문헌 21인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비선형 하이브리드 리미트 사이클 주변의 안정 영역을 내부적으로 추정하기 위한 새로운 알고리즘을 제안한다. 이는 전이 동역학을 구성하고, 리아푸노프 함수를 통한 궤도 안정성 검증을 위해 제곱합(SOS) 최적화를 사용한다. 이 방법은 복잡한 시스템, 특히 하이브리드 및 언더액티uated 로봇에 대해 안정된 기수 영역을 보수적으로 계산 가능하게 하며, 제어 및 운동 계획 분야에 적용 가능하다.

ABSTRACT

This paper presents an algorithm for computing inner estimates of the regions of attraction of limit cycles of a nonlinear hybrid system. The basic procedure is: (1) compute the dynamics of the system transverse to the limit cycle; (2) from the linearization of the transverse dynamics construct a quadratic candidate Lyapunov function; (3) search for a new Lyapunov function verifying maximal regions of orbital stability via iterated of sum-of-squares programs. The construction of the transverse dynamics is novel, and valid for a broad class of nonlinear hybrid systems. The problem of stabilization of unstable limit cycles will also be addressed, and a solution given based on stabilization of the transverse linearization.

연구 동기 및 목표

• 비선형 하이브리드 리미트 사이클 주변의 내부 안정 영역을 추정하기 위한 구축 가능한 방법을 개발하는 것. 이는 동적 시스템에서 제어 및 운동 계획에 있어 핵심적인 요소이다.
• 리미트 사이클의 전 상태공간 안정 영역을 특성화하는 데 도전하는 것. 일반적으로 이는 피카르에 맵 또는 선형화를 통한 국소 분석으로만 이루어진다.
• 전이 동역학 구성 기법을 비선형 하이브리드 시스템의 광범위한 클래스로 확장하여, 라그랑주 또는 조각별 선형적 구조 외부의 분석도 가능하게 하는 것.
• 불안정한 주기 궤도에 대한 피드백 제어기 설계를 가능하게 하여 전이 선형화를 안정화함으로써 지수적 궤도 안정성을 확보하는 것.
• 고차원 시스템에 적용 가능한, 수치적으로 다룰 수 있는 스케일러블 프레임워크를 제공하기 위해 제곱합 프로그래밍을 사용한 안정성 검증 방법을 개발하는 것.

제안 방법

• 한 주기 궤도를 따라 변하는 좌표계를 정의함으로써 전이 동역학을 구성한다. 궤도에 수직인 시간에 따라 변하는 벡터장 $ z( au) $ 를 사용하여 상태의 편차를 투영한다.
• 전이 동역학 방정식 $ rac{d x_ot}{dt} = A( au) x_ot + h(x_ot, au) $ 를 유도한다. 여기서 $ A( au) $ 는 전이 선형화이며, 국소 안정성 분석을 가능하게 한다.
• 선형화된 전이 동역학을 바탕으로 이차형 후보 리아푸노프 함수를 구성하여 안정 영역의 初기 추정치를 제공한다.
• 반복적인 제곱합(SOS) 최적화를 적용하여 리아푸노프 함수를 정밀화하고, 양의 정의성을 확보하기 위해 준선형계획법을 사용함으로써 궤도 안정성 영역을 최대화한다.
• 전이 벡터장 $ z( au) $ 를 최적화하기 위해 매끄럽고 비凸인 최적화 문제를 사용한다. 이는 전이 편차의 노름의 역수를 최소화하며, 전이성과 하이브리드 시스템의 스위칭 표면과의 정렬 조건을 포함한다.
• 하이브리드 시스템에서 충격 표면과의 정렬을 보장하기 위해 형태 함수 $ ho( au) $ 를 사용하여 전이 좌표가 비연속점에서 잘 정의되도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고차원 상태공간에서 비선형 하이브리드 리미트 사이클의 보수적인 내부 안정 영역 추정을 어떻게 수행할 수 있는가?
• RQ2 일반적인 비선형 하이브리드 시스템(충격 및 비라그랑주형 구조 포함)에 대해 전이 동역학을 체계적으로 구성하는 방법은 무엇인가?
• RQ3 제곱합 프로그래밍을 사용하여 국소 선형화를 초월해 궤도 안정성 영역을 검증하고 확장하는 데 효과적으로 활용할 수 있는가?
• RQ4 전이 동역학 프레임워크는 어떻게 불안정한 주기 궤도에 대한 안정화 피드백 제어기를 설계하는 데 응용될 수 있는가?
• RQ5 어떤 최적화 전략이 특이점을 피하고 안정성 영역 추정치를 향상시키는 데 효과적인 전이 좌표를 안정적이고 잘 정의된 방식으로 선택할 수 있도록 보장하는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 비선형 하이브리드 리미트 사이클 주변의 궤도 안정성 영역에 대한 내부 추정치를 성공적으로 계산하였으며, 반도체 진동자, 리미스드 휠, 콩피스-게이트 워커 등 다양한 시스템에 적용되었다.
• 전이 동역학 구성은 충격이 있는 시스템을 포함한 광범위한 시스템 클래스에 대해 해석적으로 타당하며, 라그랑주 형식과 같은 특수한 구조적 가정이 필요하지 않다.
• 제곱합 리프레젠테이션을 통해 준선형계획법을 통한 효율적인 계산이 가능해져, 닫힌 형태의 해가 불가능한 비트리비얼한 시스템에 대해서도 스케일러블하게 적용 가능하다.
• 고차원 노름(p-norm, 예: $ p=10 $ 에서 $ 100 $)을 사용하여 전이 벡터장 $ z( au) $ 를 최적화함으로써 매끄럽고 잘 정의된 문제를 얻을 수 있으며, 이는 $ L^ty $-노름 행동을 근사하고 특이점을 피한다.
• 전이 선형화를 안정화함으로써 불안정한 리미트 사이클을 피드백 제어로 안정화할 수 있으며, 이로 인한 닫힌 루프 안정성 영역은 동일한 프레임워크를 사용하여 분석 가능하다.
• 격자 기반 또는 셀-투-셀 매핑 방법에 비해 계산 효율성과 확장성 면에서 뛰어나며, 특히 고차원 시스템에서 뛰어난 성능을 보였다.