[논문 리뷰] Transverse foliations on the torus $\T^2$ and partially hyperbolic diffeomorphisms on 3-manifolds

Christian Bonatti, Jinhua Zhang|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 13.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 2-토러스의 미분형식군에서 두 $C^1$ 분할에 대한 교차성을 유지하는 비자명한 루프의 존재를 증명함으로써, 3-다양체 위에서 부분적으로 초구형 미분형식을 구성하기 위한 위상적 조건을 설정한다. 주요 결과는 이러한 루프가 분할들이 교차하고, 평행한 컴팩트한 잎을 갖지 않거나, 호모토피류에서 호환 가능한 방식으로 갖는 경우에 존재함을 보여주며, 이는 BPP 구성의 일반화를 비순환 안노소프 플로우에 대해 Dehn 회전을 통해 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this paper, we prove that given two $C^1$ foliations $\mathcal{F}$ and $\mathcal{G}$ on $\mathbb{T}^2$ which are transverse, there exists a non-null homotopic loop $\{Φ_t\}_{t\in[0,1]}$ in $\diff^{1}(\T^2)$ such that $Φ_t(\calF)\pitchfork \calG$ for every $t\in[0,1]$, and $Φ_0=Φ_1= Id$. As a direct consequence, we get a general process for building new partially hyperbolic diffeomorphisms on closed $3$-manifolds. \cite{BPP} built a new example of dynamically coherent non-transitive partially hyperbolic diffeomorphism on a closed $3$-manifold, the example in \cite{BPP} is obtained by composing the time $t$ map, $t>0$ large enough, of a very specific non-transitive Anosov flow by a Dehn twist along a transverse torus. Our result shows that the same construction holds starting with any non-transitive Anosov flow on an oriented $3$-manifold. Moreover, for a given transverse torus, our result explains which type of Dehn twists lead to partially hyperbolic diffeomorphisms.

연구 동기 및 목표

• [BPP]의 구체적 예외를 넘어서 3-다양체 위에서 부분적으로 초구형 미분형식을 구성하는 것을 일반화하는 것.
• 교차하는 토러스를 따라 Dehn 회전이 부분 초구형성을 유지하는 위상적 기준을 설정하는 것.
• 2-토러스에서 두 교차하는 $C^1$ 분할 간의 교차성을 유지하는 $\mathrm{Diff}^1(\mathbb{T}^2)$ 내의 루프의 호모토피류를 특성화하는 것.
• 비순환 안노소프 플로우의 시간-1 사상과 Dehn 회전을 이용한 강력한 역학적 일관성과 절대 부분 초구형 미분형식을 구성하는 일반적 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 두 경우로 나누어 정리 A를 증명함: 평행한 컴팩트 잎이 없는 경우와 있는 경우.
• 평행한 잎이 없는 경우, T² 위의 아핀 좌표를 사용하여 이동이 교차성을 유지함을 보이고, 주어진 호모토피류를 갖는 루프를 구성함.
• 평행한 잎이 있는 경우, 분할들이 일정한 콘으로 분離되는 수직 앤틸라로 T²를 분해하고, 수직 이동을 이용해 루프를 생성함.
• 비순환 안노소프 플로우의 시간-$N$ 사상과 교차하는 토러스를 따라 Dehn 회전을 조합하여 3-다양체 위의 미분형식을 구성함.
• 정리 A의 루프를 사용하여 결과 조합이 강력한 안정 및 불안정 분할 간의 교차성을 유지함을 보장함.
• 구조적 안정성 및 플라크 전개성 결과를 적용하여 구성된 미분형식의 강력한 역학적 일관성을 증명함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $\mathbb{T}^2$ 위의 두 교차하는 $C^1$ 분할에 대해, $\mathrm{Diff}^1(\mathbb{T}^2)$ 내에서 교차성을 전반적으로 유지하는 비자명한 루프가 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 두 교차하는 분할이 동일한 자유 호모토피류에 속하는 컴팩트 잎을 갖는 경우, $\mathrm{Diff}_0(\mathbb{T}^2)$ 내의 어떤 호모토피류의 루프가 교차성을 유지하는가?
• RQ3 비순환 안노소프 플로우에 대해 BPP의 비순환적이고 역학적으로 일관된 부분 초구형 미분형식의 구성 방식을 그 특정 예를 넘어서 일반화할 수 있는가?
• RQ4 비순환 안노소프 플로우의 시간-$t$ 사상과 조합될 때, 교차하는 토러스를 따라 어떤 종류의 Dehn 회전이 부분 초구형 미분형식을 유도하는가?
• RQ5 최종 미분형식이 절대 부분 초구형이 되기 위해 Dehn 회전에 의해 영향을 받는 강력한 안정 및 불안정 분할의 교차성을 어떻게 확보할 수 있는가?

주요 결과

• $\mathbb{T}^2$ 위의 두 교차하는 $C^1$ 분할이 평행한 컴팩트 잎을 갖지 않는 한, $\mathrm{Diff}^1(\mathbb{T}^2)$ 내에서 $\Phi_0 = \Phi_1 = \mathrm{id}$, $\Phi_t(\mathcal{F}) \pitchfork \mathcal{G}$ for all $t$, 그리고 각 $x \in \mathbb{T}^2$ 가 비자명한 호모토피류의 루프를 그리는 루프 $\{\Phi_t\}_{t\in[0,1]}$ 가 존재한다.
• 분할 $\mathcal{F}$ 와 $\mathcal{G}$ 가 동일한 호모토피류 $\alpha$ 에 속하는 컴팩트 잎을 갖는 경우, 각 점이 호모토피류 $\beta$ 의 루프를 그리는 루프가 존재하는 것은 $\beta \in \langle \alpha \rangle$ 인 것과 동치이다. 여기서 $\langle \alpha \rangle$ 은 $\alpha$ 가 생성하는 순환부분군이다.
• 이 구성은 BPP 예제의 일반화를 가능하게 한다: 임의의 비순환 안노소프 플로우에 대해, 그 시간-$N$ 사상과 교차하는 토러스를 따라 Dehn 회전을 조합하면 $N$ 이 충분히 클 경우 부분 초구형 미분형식이 된다.
• 최종적으로 유도된 미분형식 $f = \Psi_N \circ X_N$ 는 절대 부분 초구형이며, 강력한 역학적 일관성과 플라크 전개성을 갖는다.
• 미분형식 $f$ 의 중심 번들에 대해 균일한 준등거리 경계가 성립한다: 모든 $n \in \mathbb{Z}$ 와 단위 벡터 $v \in E^c_f$ 에 대해 $\|Df^n(v)\| \in [1/C, C]$ 이며, 이는 중심-안정 및 중심-불안정 방향에서 리아풀로프 안정성을 암시한다.
• 비순환 안노소프 플로우의 강력한 안정 및 불안정 분할은 공액 $\psi_{i,N}$ 의 극한에서 유지되며, 이는 큰 $N$ 에서도 교차성이 유지됨을 보장한다. 이는 최종 미분형식의 절대 부분 초구형성을 확인한다.