[논문 리뷰] Transverse Kähler geometry of Sasaki manifolds and toric Sasaki-Einstein manifolds

Akito Futaki, Hajime Ono외 1명|ArXiv.org|2006. 07. 24.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 21인용 수 43

한 줄 요약

이 논문은 복소다양체의 전이 Kähler 기하학을 Sasaki 다양체로 확장하며, 조화형 Chern 형식을 가진 전이 Kähler 메트릭의 고장원을 제안하고, 컴팩트 토릭 Sasaki 다양체에서 전이 Kähler-Ricci 솔리톤(Sasaki-Ricci soliton)의 존재를 증명한다. 기본 첫 번째 Chern 형식이 양이며, 접촉 번들의 첫 번째 Chern 형식이 자명한 경우, 이러한 다양체는 Sasaki-Einstein 메트릭을 갖는다. 핵심 결과는 이러한 다양체가 특정 불변량 $ f_1 $ 이 0일 때에만 Sasaki-Einstein 메트릭을 갖는다는 것이며, Reeb 장을 변형함으로써 $ \mathbb{CP}^2 $ 의 두 점 블로우업 위의 단위 원판 덮개에서 비정규 토릭 Sasaki-Einstein 메트릭을 구성할 수 있다.

ABSTRACT

In this paper we study compact Sasaki manifolds in view of transverse Kähler geometry and extend some results in Kähler geometry to Sasaki manifolds. In particular we define integral invariants which obstruct the existence of transverse Kähler metric with harmonic Chern forms. The integral invariant $f_1$ for the first Chern class case becomes an obstruction to the existence of transverse Kähler metric of constant scalar curvature. We prove the existence of transverse Kähler-Ricci solitons (or {\it Sasaki-Ricci soliton}) on compact toric Sasaki manifolds whose basic first Chern form of the normal bundle of the Reeb foliation is positive and the first Chern class of the contact bundle is trivial. We will further show that if $S$ is a compact toric Sasaki manifold with the above assumption then by deforming the Reeb field we get a Sasaki-Einstein structure on $S$. As an application we obtain irregular toric Sasaki-Einstein metrics on the unit circle bundles of the powers of the canonical bundle of the two-point blow-up of the complex projective plane.

연구 동기 및 목표

• 컴팩트 Sasaki 다양체에서 조화형 Chern 형식을 가진 전이 Kähler 메트릭의 존재 문제를 다룬다.
• Kähler 기하학의 고장원을 Sasaki 다양체의 전이 Kähler 기하학으로 일반화하며, 특히 일정 곡률 및 에인슈타인 메트릭에 대해 고려한다.
• 컴팩트 토릭 Sasaki 다양체에서 $ c_1^B > 0 $ 및 $ c_1(D) = 0 $ 조건 하에 전이 Kähler-Ricci 솔리톤(Sasaki-Ricci soliton)의 존재를 증명한다.
• Reeb 장을 변형함으로써 컴팩트 토릭 Sasaki 다양체가 Sasaki-Einstein 구조를 갖는 조건을 설정한다.
• 단위 원판 덮개 위의 두 점 블로우업 $ \mathbb{CP}^2 $ 에서 비정규 토릭 Sasaki-Einstein 메트릭의 구체적 예를 구성한다.

제안 방법

• Reeb 분할과 그 기본 미분형식에 초점을 맞춰 Sasaki 다양체에서 전이 Kähler 기하학을 정의한다.
• 전이 Kähler 메트릭과 조화형 Chern 형식, 일정 곡률에 대한 고장원으로서 적분 불변량 $ f_1 $ 및 $ f $ 을 도입한다.
• 전이 Kähler 형식 $ \omega^T $ 의 Lie 미분 $ \mathcal{L}_X $ 을 사용하여 Sasaki-Ricci 솔리톤을 정의한다. 식은 $ \rho^T - (2m+2)\omega^T = \mathcal{L}_X \omega^T $ 로 주어진다.
• 해당 콘의 전이 헬름홀로픽 기하학을 분석하기 위해 해밀턴형 헬름홀로픽 벡터장 이론과 모멘트 맵을 활용한다.
• Kähler 콘 구조와 토릭 대칭성을 이용하여 문제를 $ \mathbb{R}^3 $ 에서의 모멘트 콘 $ C(\mu) \subset \mathbb{R}^3 $ 에서의 볼록 기하 문제로 환원한다.
• 토릭 Sasaki 메트릭을 실현하기 위해 심플렉틱 포텐셜을 명시적으로 구성하고, Reeb 장을 변형하여 Sasaki-Einstein 구조를 달성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Sasaki 다양체에 대해 Kähler 기하학의 고장원과 유사한 전이 Kähler 기하학적 고장원은 무엇인가?
• RQ2 컴팩트 토릭 Sasaki 다양체에서 $ c_1^B > 0 $ 및 $ c_1(D) = 0 $ 조건 하에 전이 Kähler-Ricci 솔리톤의 존재는 어떻게 증명할 수 있는가?
• RQ3 컴팩트 토릭 Sasaki 다양체가 Sasaki-Einstein 메트릭을 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ4 Reeb 장을 변형하여 $ c_1^B > 0 $ 및 $ c_1(D) = 0 $ 조건을 만족하는 토릭 Sasaki 다양체에서 Sasaki-Einstein 구조를 생성할 수 있는가?
• RQ5 이러한 구성에서 얻어진 Sasaki-Einstein 메트릭의 성격(정규 또는 비정규)은 어떠한가?

주요 결과

• 정의된 보조 고장원인 적분 불변량 $ f_1 $ 이 0이 되는 것은 Sasaki-Ricci 솔리톤이 Sasaki-Einstein 메트릭이 되는 것과 동치이다.
• 모든 컴팩트 토릭 Sasaki 다양체에서 $ c_1^B > 0 $ 및 $ c_1(D) = 0 $ 조건을 만족할 경우 전이 Kähler-Ricci 솔리톤이 존재하며, 이는 Wang-Zhu의 Kähler 결과를 일반화한다.
• 컴팩트 토릭 Sasaki 다양체에 Sasaki-Einstein 메트릭이 존재하는 것은 $ f_1 = 0 $ 이며, $ c_1^B > 0 $ 및 $ c_1(D) = 0 $ 조건 하에서 동치이다.
• Reeb 장을 변형함으로써 $ c_1^B > 0 $ 및 $ c_1(D) = 0 $ 조건을 만족하는 모든 컴팩트 토릭 Sasaki 다양체에서 Sasaki-Einstein 구조를 구성할 수 있다.
• 두 점 블로우업 $ \mathbb{CP}^2 $ 의 단위 원판 덮개 위의 Sasaki-Einstein 메트릭에 대응하는 Reeb 벡터장은 무리수이며, 이는 비정규 Sasaki 메트릭을 유도한다.
• 모멘트 콘의 면들에 대한 내향 법선 벡터는 $ v_1 = (1,0,0), v_2 = (1,0,1), v_3 = (1,1,2), v_4 = (1,2,1), v_5 = (1,1,0) $ 이며, Reeb 벡터는 $ x_c = \left(3, \frac{9}{16}(-1 + \sqrt{33}), \frac{9}{16}(-1 + \sqrt{33})\right) $ 로 주어지며, 이는 무리수성과 비정규성을 확인한다.