[논문 리뷰] Traveling Wave Solutions for Delayed Reaction-Diffusion Systems and Applications to Lotka-Volterra Competition-Diffusion Models with Distributed Delays

Guo Lin, Shigui Ruan|arXiv (Cornell University)|2013. 05. 17.

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models참고 문헌 16인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 분포 지연을 가진 반응-확산 시스템, 특히 분포 지연을 가진 확산 로트카-볼테라 경쟁 모델에서 이동파 해의 존재성과 점점 가까워지는 행동을 규명한다. 일반화된 상한 및 하한 해를 도입하고 샤펜의 고정점 정리 및 수축 직육면체 기법을 활용하여, 종 내 경쟁 항목에서의 큰 지연이 순간적인 자가제한이 존재할 경우 이동파의 존재성이나 점점 가까워지는 행동을 방해하지 않음을 입증한다.

ABSTRACT

This paper is concerned with the traveling wave solutions of delayed reaction-diffusion systems. By using Schauder's fixed point theorem, the existence of traveling wave solutions is reduced to the existence of generalized upper and lower solutions. Using the technique of contracting rectangles, the asymptotic behavior of traveling wave solutions for delayed diffusive systems is obtained. To illustrate our main results, the existence, nonexistence and asymptotic behavior of positive traveling wave solutions of diffusive Lotka-Volterra competition systems with distributed delays are established. The existence of nonmonotone traveling wave solutions of diffusive Lotka-Volterra competition systems is also discussed. In particular, it is proved that if there exists instantaneous self-limitation effect, then the large delays appearing in the intra-specific competitive terms may not affect the existence and asymptotic behavior of traveling wave solutions.

연구 동기 및 목표

• 지연된 반응-확산 시스템에서 양의 이동파 해의 존재성과 점점 가까워지는 행동을 규명하는 것.
• 기존의 단조성 기반 방법이 실패하는 비-쿼지모노톤 시스템의 도전 과제를 다루는 것.
• 종 내 경쟁 항목의 분포 지연이 확산 로트카-볼테라 모델에서 파동 전파에 미치는 영향을 분석하는 것.
• 큰 지연이 경쟁 시스템에서 이동파 해의 존재성 또는 안정성에 영향을 줄 수 있는지 조사하는 것.
• 순간적인 자가제한이 상당한 지연이 존재하는 상황에서도 파동 역학을 유지할 수 있음을 보여주는 것.

제안 방법

• 이동파 해의 존재성을 일반화된 상한 및 하한 해의 존재성으로 환원하기 위해 샤펜의 고정점 정리를 사용한다.
• 비-쿼지모노톤 시스템에서 비교 원리의 부재를 극복하기 위해 일반화된 상한 및 하한 해의 개념을 도입한다.
• 부분 함수미분방정식에서 양의 이동파 해의 점점 가까워지는 행동을 분석하기 위해 수축 직육면체 기법을 적용한다.
• 점점 가까워지는 행동 이론과 수축 직육면체 방법을 결합하여 해의 장기적 행동을 유도한다.
• 편미분방정식 시스템을 이동파 기준에서의 함수미분방정식 시스템으로 변환하기 위해 파동 변환을 활용한다.
• 스칼라 지연 방정식에서 접근법을 검증하고, 이를 분포 지연을 가진 확산 로트카-볼테라 경쟁 모델에 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분포 지연을 가진 지연된 반응-확산 시스템에서 양의 이동파 해가 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 종 내 경쟁 항목에서 큰 지연이 존재할 경우 이동파의 존재성과 점점 가까워지는 행동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 확산 로트카-볼테라 경쟁 시스템에서 분포 지연이 존재할 경우 비단조성 이동파 해가 존재할 수 있는가?
• RQ4 순간적인 자가제한은 큰 지연 상황에서 파동 해를 유지하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 기존의 단조성 기반 방법은 이러한 시스템 분석에서 어느 정도 실패하며, 대체 기법은 이를 어떻게 극복할 수 있는가?

주요 결과

• 일반화된 상한 및 하한 해와 샤펜의 고정점 정리를 활용하여 지연된 확산 로트카-볼테라 경쟁 시스템에서 양의 이동파 해의 존재성이 입증된다.
• 수축 직육면체 기법과 점점 가까워지는 행동 이론을 통해 이동파 해의 점점 가까워지는 행동이 엄밀히 유도된다.
• 분포 지연을 가진 확산 로트카-볼테라 시스템에서 비단조성 이동파 해가 존재함이 입증된다.
• 종 내 경쟁 항목에서 큰 지연이 존재하더라도 순간적인 자가제한 효과가 있을 경우 이동파의 존재성이나 점점 가까워지는 행동이 방해받지 않음.
• 자기제한이 존재할 경우 큰 지연 하에서도 최소 파동 속도와 파동 프로파일이 유지됨을 보여 이동파 전파의 강건성을 시사한다.
• 기존의 단조성 기반 접근법이 비-쿼지모노톤 시스템에서 실패하는 것을 효과적으로 극복하며, 특히 $ c = 2\sqrt{dr} $와 같은 임계 파동 속도에 대해 성공적으로 적용됨.