[논문 리뷰] Traveling Wave Solutions for Space-Time Fractional Nonlinear Evolution Equations

M. G. Hafez, Dianchen Lu|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 26.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 34인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 공간-시간 분수형 비선형 진화 방정식에 대한 정확한 진행파 해를 해석적으로 유도하기 위해 일반화된 exp-함수 전개 방법과 주마리에의 수정된 리만-라우비르 분수도를 결합한다. 이 방법은 공간-시간 분수형 버거스, 거품 배수, 그리고 오목차수 사와다-코테라 방정식에 대해 쌍곡선, 삼각함수, 지수함수 및 유리함수 형태의 해를 성공적으로 도출하여, 분수형 수학물리학 및 공학 분야에서의 효과성과 적용 가능성임을 입증한다.

ABSTRACT

Space time fractional nonlinear evolution equations have been widely applied for describing various types of physical mechanism of natural phenomena in mathematical physics and engineering. The proposed generalized exp expansion method along with the Jumarie s modified Riemann-Liouville derivatives is employed to carry out the integration of these equations, particularly space-time fractional Burgers equations, space-time fractional foam drainage equation and time fractional fifth order Sawada Kotera equation. The traveling wave solutions of these equations are appeared in terms of the hyperbolic, trigonometric, exponential and rational functions. It has been shown that the proposed technique is a very effectual and easily applicable in investigation of exact traveling wave solutions to the fractional nonlinear evolution equations arises in mathematical physics and engineering.

연구 동기 및 목표

• 수학물리학 및 공학 분야에서 발생하는 공간-시간 분수형 비선형 진화 방정식을 해결하기 위한 효과적인 해석적 방법을 개발하는 것.
• 복잡한 비선형성을 지닌 분수계수 편미분방정식에서 정확한 진행파 해를 도출하는 데 도전하는 것.
• 주마리의 수정된 리만-라우비르 정의를 통해 exp-함수 방법의 분수도 적용 범위를 확장하는 것.
• 버거스, 거품 배수, 사와다-코테라 유형의 기준 분수형 방정식에 대한 방법의 효과성을 입증하는 것.
• 쌍곡선, 삼각함수, 지수함수 및 유리함수 형태로 정확한 해를 유도하기 위한 체계적인 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 일반화된 exp-함수 전개 방법을 적용하여 진행파 변환을 통해 분수형 비선형 PDE를 상미분방정식으로 변환한다.
• 공간-시간 분수형 도함수를 처리하기 위해 주마리의 수정된 리만-라우비르 분수도를 사용한다.
• 해의 가정은 비선형항과 분수도항의 균형을 통해 결정되는 exp-함수의 유한 급수 전개 형태를 취한다.
• 유도된 대수방정식 시스템을 풀어 가정에 포함된 미지수 계수를 결정한다.
• 이 방법은 공간-시간 분수형 버거스, 거품 배수, 시간-분수형 오목차수 사와다-코테라 방정식과 같은 세 가지 특정 분수형 방정식에 체계적으로 적용된다.
• 해는 매개수 관계에 따라 쌍곡선, 삼각함수, 지수함수 및 유리함수 형태로 닫힌 형태로 표현된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 exp-함수 방법은 공간-시간 분수형 비선형 진화 방정식을 효과적으로 해결하는 데 적합하게 변형될 수 있는가?
• RQ2 분수형 버거스 및 거품 배수 방정식에 대해 쌍곡선, 삼각함수, 지수함수, 유리함수 형태의 정확한 진행파 해를 도출할 수 있는가?
• RQ3 주마리의 수정된 리만-라우비르 도함수의 사용은 분수형 PDE의 해법 과정을 어떻게 향상시키는가?
• RQ4 제안된 방법은 다양한 분수형 비선형 진화 방정식에 대해 정확한 해를 도출하는 데 있어 적용 가능성과 강건성은 어떠한가?
• RQ5 이 방법은 문헌에서 알려진 해석 형태와 일치하는 닫힌 형태의 해를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 공간-시간 분수형 버거스 방정식에 대해 쌍곡선 및 유리함수 형태의 정확한 진행파 해를 성공적으로 도출하였다.
• 공간-시간 분수형 거품 배수 방정식의 경우, 삼각함수 및 지수함수 형태의 해를 도출하였다.
• 시간-분수형 오목차수 사와다-코테라 방정식은 이 방법을 통해 쌍곡선 및 유리함수 형태의 해로 해결되었다.
• 가정된 해와 매개수 결정 과정을 통해 해가 원래의 분수형 미분방정식을 명시적으로 만족하는 것으로 확인되었다.
• 복잡한 수치적 기법이 필요 없이도 정확한 해를 도출하는 데 있어 높은 효율성과 적용 용이성을 보였다.
• 결과적으로 일반화된 exp-함수 방법과 주마리의 분수도 정의를 결합한 방법은 분수형 비선형 PDE에 대한 강력하고 신뢰할 수 있는 해석적 도구임을 확인하였다.