[논문 리뷰] Tree representations of Galois groups

Nigel Boston|ArXiv.org|2000. 09. 18.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 4인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 무한하고 유한하게 생성된 p-진 갈루아 군—특히 p에서 분비되지 않은 군—이 루트를 가진 p-진 트리의 자기동형군에 대해 큰 이미지를 가진 표현을 갖는다고 제안한다. 이는 하우스도르프 차원이 양수임을 측정한다. 이들은 이러한 군들이 분지 군임을 추측하며, 표준적인 p-진 표현으로 접근할 수 없는 구조적 성질을 드러내는 데 도움이 되는 트리 표현을 통한 새로운 접근 방식을 제안한다. 이는 분비되지 않은 Fontaine-Mazur 추측을 해결하는 데 기여할 수 있다.

ABSTRACT

Much work has gone into matrix representations of Galois groups, but there is a whole new class of naturally occurring representations that have as yet gone almost unnoticed. In fact, it is well-known in various areas of mathematics that the main sources of totally disconnected groups are matrix groups over local fields AND automorphism groups of locally finite trees. It is perhaps surprising then that representations of Galois groups into the latter have been almost ignored, while at the same time Galois representations into the former have been enormously effective in resolving long-standing problems in number theory. These ``tree'' representations are important as regards topics such as the unramified Fontaine-Mazur conjecture. This conjecture states that any p-adic representation of the Galois group of an extension unramified at p (and ramified at only finitely many primes) should have finite image. In other words, p-adic representations say little about such Galois groups. This paper proposes the conjecture that these Galois groups should, on the other hand, have representations with large image (measured by Hausdorff dimension) in the automorphism group of a rooted tree. Thus, they might allow us to investigate the structure of the Galois group of infinite pro-p extensions (such as Hilbert p-class towers), something unapproachable by standard p-adic representation methods.

연구 동기 및 목표

• 표준적인 p-진 표현의 대안으로, 갈루아 군을 루트를 가진 트리의 자기동형군에 표현하는 것을 탐색한다.
• 힐베르트 p-클래스 탑과 같은 무한한 p-진 확장을 연구하는 데 있어 p-진 표현의 한계를 다룬다.
• K를 수체이고 S가 p 위의 소수를 포함하지 않는다고 할 때, 갈루아 군 GK,S의 단지-무한한 p-진 몫이 하우스도르프 차원을 통해 분지 군인지 조사한다.
• 루트를 가진 트리의 자기동형군의 구조와 연결하여 분비되지 않은 Fontaine-Mazur 추측을 강화한다.
• 기하학적 및 군론적 방법을 통해 갈루아 군의 구조를 이해하는 데 새로운 프레임워크를 제안한다.

제안 방법

• 루트를 가진 p-진 트리의 자기동형군 W의 닫힌 부분군 G에 대해 하우스도르프 차원을 lim infₙ→∞ log|Gₙ| / log|Wₙ|로 정의한다. 여기서 Gₙ는 유한 몫 Wₙ에서의 상이다.
• 갈루아 표현의 대상으로 무한 이진 트리의 프로-2 자기동형군 W = lim←Wₙ를 사용한다.
• 유한 지수를 기준으로 하지 않고, 양수인 하우스도르프 차원을 통해 '큰 이미지' 개념을 적용하여 구조적 풍부함을 포착한다.
• 그리고치크 타입(분지) 군과 그들의 하우스도르프 차원에 관한 기존 결과를 활용한다. 예를 들어 첫 번째 예시는 차원 5/8을 갖는다.
• 유한하게 생성된 p-진 군을 W에 임베딩함으로써 p-진 군의 하우스도르프 차원을 이러한 임베딩들에 대한 상한으로 정의한다.
• 갈루아 군이 반복 다항식 x²+1의 경우에 W로 전사함을 보여주는 Odoni-Stoll 결과를 활용하여, 큰 이미지 트리 표현의 구체적 예를 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 집합 S 외부에서 분비되지 않는 수체의 갈루아 군은 하우스도르프 차원이 양수임을 측정할 때, 루트를 가진 트리의 자기동형군에 대해 큰 이미지를 갖는 표현을 가질 수 있는가?
• RQ2 모든 단지-무한한 p-진 몫 GK,S (K가 수체이고 S가 p 위의 소수를 포함하지 않는 경우)는 분지 군인가, 즉 p-진 트리의 자기동형군의 부분군이면서 비자명한 하우스도르프 차원을 갖는가?
• RQ3 이러한 트리 표현의 존재가 무한한 p-진 확장을 연구하는 데 있어 p-진 표현의 타당한 대안이 될 수 있는가?
• RQ4 대수기하학을 사용하여 반복 이차 커버를 통해 이러한 트리 표현을 체계적으로 구성할 수 있는가?
• RQ5 이러한 트리 표현에서 프로페르스 원소는 모듈러 형식의 추적과 유사한 산술 정보를 지니는가?

주요 결과

• 논문은 모든 단지-무한한 p-진 군이 분지가 아니면 하우스도르프 차원이 0임을 제안하며, 이를 통해 추측 1을 도출한다: 단지-무한한 p-진 군은 하우스도르프 차원이 양수일 때에만 분지 군이다.
• 추측 2는 S가 p에서 분비되지 않는 경우, GK,S의 모든 단지-무한한 p-진 몫이 분지 군임을 주장하며, 이는 분비되지 않은 Fontaine-Mazur 추측을 함의한다.
• Odoni-Stoll 결과는 구체적 예를 제공한다: 반복 다항식 x²+1의 갈루아 군은 무한 이진 트리의 프로-2 자기동형군 W로 전사한다.
• 첫 번째 그리고치크 군의 하우스도르프 차원은 5/8이며, 이는 양수인 차원을 갖는 비자명한 분지 군의 예를 보여준다.
• 논문은 Zp 및 Fp[[T]] 위의 선형 표현이 모든 단지-무한한 p-진 군을 기술할 수 없음을 보이며, 트리의 자기동형군에 대한 표현과 같은 대안 표현이 필요함을 시사한다.
• 이 추측은 무한한 p-진 몫을 갖는 갈루아 군이 W에 양수인 하우스도르프 차원을 갖는 임베딩을 가져야 한다고 함의하며, 이는 그들의 구조를 연구하는 데 새로운 기하학적 불변량을 제공한다.