[논문 리뷰] Trees and linear anticomplete pairs

Maria Chudnovsky, Alex Scott외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 04.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 7인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 모든 산림 $ H $에 대해, 최대 차수 $ \epsilon n $ 미만인 $ H $-자유 그래프 $ G $는 서로소인 선형 크기의 두 집합을 포함하며, 이들 사이에 간선이 존재하지 않음을 증명한다. 그 결과, 산림과 그 여부를 모두 인덕티브 부분그래프로 포함하지 않는 그래프는 다항식 크기의 클리크 또는 안정집합을 가진다.

ABSTRACT

We prove a conjecture of Liebenau, Pilipczuk, and the last two authors, that for every forest $H$ there exists $\epsilon>0$, such that if $G$ has $n\ge 2$ vertices and does not contain $H$ as an induced subgraph, and has maximum degree less than $\epsilon n$, then there are two disjoint sets $A,B\subseteq V(G)$ with $|A|,|B|\ge \epsilon n$, such that there are no edges between $A,B$. (It is known that no graphs $H$ except forests have this property.) Consequently we prove that for every forest $H$, there exists $c>0$ such that for every graph $G$ containing neither $H$ nor its complement as an induced subgraph, there is a clique or stable set of cardinality at least $|V(G)|^c$.

연구 동기 및 목표

• 희박한 그래프에서의 인덕티브 부분그래프에 관한 Liebenau, Pilipczuk 등이 제기한 추측을 해결하기 위해.
• 최대 차수가 제한된 $ H $-자유 그래프에서 큰 반완전 쌍의 존재를 확립하기 위해.
• 산림과 그 여부를 모두 인덕티브 부분그래프로 포함하지 않는 그래프에서 클리크 또는 안정집합의 크기에 대한 다항식 하한을 도출하기 위해.
• 산림과 그 여부를 모두 인덕티브 부분그래프로 포함하지 않는 그래프의 구조적 성질을 특성화하기 위해.

제안 방법

• 최대 차수가 $ \epsilon n $ 미만인 $ H $-자유 그래프에서 큰 반완전 쌍의 존재에 관한 추측을 증명한다. 여기서 $ \epsilon > 0 $ 는 $ H $에 따라 달라진다.
• 구조적 그래프 이론 기법을 사용하여, 차수 제약 조건 하에서 $ H $-자유 그래프의 분해를 분석한다.
• 라모지 이론적 추론을 적용하여, $ H $와 그 여부가 인덕티브 부분그래프로 존재하지 않음을 통해 큰 동일성 집합이 강제됨을 보인다.
• 오직 산림 $ H $만이 이러한 성질을 가짐을 이용하여 고려 대상이 되는 그래프의 범주를 제한한다.
• 반완전 쌍을 통해 인덕티브 부분그래프로 $ H $가 없는 것과 클리크 또는 안정집합의 존재 사이의 연결 고리를 구축한다.
• 극단적 그래프 이론을 사용하여 그래프의 순서에 따라 클리크 또는 안정집합의 최소 크기를 유계화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 산림 $ H $에 대해, 최대 차수가 $ \epsilon n $ 미만인 $ H $-자유 그래프에서 서로소인 선형 크기의 두 집합이 존재하여 간선이 없도록 보장되는가?
• RQ2 산림 $ H $와 그 여부를 모두 인덕티브 부분그래프로 포함하지 않는 그래프에서 어떤 구조적 성질이 나타나는가?
• RQ3 $ H $가 인덕티브 부분그래프로 존재하지 않는 희박한 그래프에서 큰 반완전 쌍의 존재를 강제로 이끌 수 있는가?
• RQ4 큰 반완전 쌍을 강제로 이끌 수 있는 성질은 산림 $ H $에만 국한되는가?
• RQ5 산림 $ H $와 그 여부를 모두 인덕티브 부분그래프로 포함하지 않는 그래프에서 클리크 또는 안정집합의 최소 크기는 얼마인가?

주요 결과

• 모든 산림 $ H $에 대해, $ \epsilon > 0 $ 이 존재하여, 최대 차수가 $ \epsilon n $ 미만인 $ H $-자유 그래프 $ G $는 서로소인 정점 집합 $ A $와 $ B $를 포함하며, 각각의 크기가 $ \epsilon n $ 이상이고, 이들 사이에 간선이 존재하지 않는다.
• 이러한 반완전 쌍의 존재는 산림 $ H $에만 국한된다; 비산림에 대해서는 이러한 성질이 성립하지 않는다.
• 결과적으로, 산림 $ H $와 그 여부를 모두 인덕티브 부분그래프로 포함하지 않는 임의의 그래프 $ G $는 $ |V(G)|^c $ 이상의 크기의 클리크 또는 안정집합을 포함한다. 여기서 $ c > 0 $ 는 $ H $에 따라 달라진다.
• 결과는 구조적 이분법을 확인한다: 산림과 그 여부를 모두 포함하지 않는 그래프는 큰 동일성 집합을 포함해야 한다.
• 동일성 집합의 크기에 대한 유계는 정점 수에 대해 다항식이다. 이는 강력한 라모지 유형의 보장을 제공한다.
• 증명은 $ H $에 따라 달라지는 정량적 임계값 $ \epsilon $ 을 확립하여, 차수 제약 조건 하에서 큰 반완전 쌍의 존재를 보장한다.