[논문 리뷰] Trees in renorming theory

Richard Haydon|arXiv (Cornell University)|1995. 09. 27.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 9인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 나무 $Σ$ 와 관련된 바나흐 공간의 정규화 성질을 조사하며, 나무 $Σ$ 에 대해 공간 $Σ_0(\Upsilon)$ 에서 국소적으로 균일하게 둥근(LUR), 엄밀히 볼록, 카데크(norm)의 존재에 대한 필요 및 충분 조건을 확립한다. 유한 분기 나무는 카데크 정규화를 가짐을 보이며, 엄밀히 볼록화할 수는 없지만 카데크 정규화가 가능한 공간을 구성함으로써, 엄밀히 볼록 정규화의 세 공간 문제 및 LUR 정규화 가능성과의 관계를 포함한 정규화 이론에서 오랫동안 남아있던 문제들을 해결한다.

ABSTRACT

Trees are very agreeable objects to work with, offering a diversity of behaviour within a structure that is sufficiently simple to admit precise analysis. Thus we are able to offer fairly satisfactory necessary and sufficient conditions on a tree $Υ$ for the existence of equivalent LUR or strictly convex norms on $\C_0(Υ)$ and for norms with the Kadec Property. In particular, we show that for a {\sl finitely branching} tree $Υ$ the space $\C_0(Υ)$ admits a Kadec renorming. Since some finitely branching trees fail the condition for strictly convex renormability, we obtain an example of a Banach space that is Kadec renormable but not strictly convexifiable. Consideration of specially tailored examples enables us to answer the ``three-space problem'' for strictly convex renorming: there exists a Banach space $X$ with a closed subspace $Y$ such that both $Y$ and the quotient $X/Y$ admit strictly convex norms, while $X$ does not. We also solve a problem about the property of mid-point locally uniform convexity (MLUR), showing that this does not imply LUR renormability.

연구 동기 및 목표

• 나무 $\Upsilon$ 에 대해 공간 $\C_0(\Upsilon)$ 에서 등가의 LUR, 엄밀히 볼록, 카데크 노름의 존재에 대한 필요 및 충분 조건을 결정하는 것.
• 엄밀히 볼록 정규화의 세 공간 문제를 해결하기 위해, 부분공간 $Y$ 와 몫공간 $X/Y$ 가 모두 엄밀히 볼록 노름을 갖지만, $X$ 자체는 그렇지 않은 바나흐 공간 $X$ 를 구성하는 것.
• 중점 국소 균일 볼록성(MLUR)과 LUR 정규화 가능성 사이의 관계를 조사하며, MLUR가 LUR 정규화 가능성을 함의하지는 않는다는 것을 보여주는 것.
• 유한 분기 나무가 카데크 정규화 가능한 공간을 제공함을 보이며, 엄밀히 볼록 정규화가 불가능한 경우에도 성립함을 보여주는 것.
• 비가산적이고 비반사적인 바나흐 공간에서 정규화 성질의 한계를 명확히 하기 위한 반례를 제공하는 것.

제안 방법

• 논문은 나무 $\Upsilon$ 의 구조를 이용하여, 특히 나무의 순서와 분기 성질에 초점을 맞춰 공간 $\C_0(\Upsilon)$ 의 위상 구조를 분석한다.
• 전이순서수 귀납법과 나무 기반 거리함수를 통한 등가 노름의 구성 기법을 포함한 정규화 이론의 기법들을 적용한다.
• 특히 유한 분기 나무를 포함한 특정 나무 유형을 정의하고 분석하여, LUR, 엄밀히 볼록, 또는 카데크 정규화가 가능한지 여부를 판단한다.
• 세 공간 문제 및 MLUR 대비 LUR 함의성에 대한 반례로 특수화된 나무 예제를 구성한다.
• 단위 구면과 지지함수의 행동을 제어하기 위해 나무의 위상적 및 순서론적 성질에 의존하는 분석을 수행한다.
• 특정 나무의 랭크와 분기도를 사용하여, 특정 정규화 성질이 가능하거나 불가능한 조건을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 나무 $\Upsilon$ 에 대해 $\C_0(\Upsilon)$ 가 등가의 LUR 노름을 갖는가?
• RQ2 모든 카데크 정규화 가능한 공간이 엄밀히 볼록 정규화 가능한가, 아니면 카데크이지만 엄밀히 볼록화할 수 없는 공간이 존재할 수 있는가?
• RQ3 부분공간 $Y$ 와 몫공간 $X/Y$ 가 모두 엄밀히 볼록화 가능한 바나흐 공간 $X$ 가 스스로 엄밀히 볼록화 가능하지 않은가?
• RQ4 중점 국소 균일 볼록성(MLUR)이 등가의 LUR 노름의 존재를 함의하는가?
• RQ5 어떤 나무 $\Upsilon$ 의 구조적 성질이 $\C_0(\Upsilon)$ 가 카데크 정규화를 갖는 데 보장하는가?

주요 결과

• 모든 유한 분기 나무 $\Upsilon$ 에 대해 공간 $\C_0(\Upsilon)$ 는 카데크 정규화를 갖는다.
• 카데크 정규화 가능하지만 엄밀히 볼록화 불가능한 바나흐 공간이 존재함을 보이며, 카데크 정규화 가능성과 엄밀히 볼록성 간의 함의관계가 없음을 시사한다.
• 엄밀히 볼록 정규화의 세 공간 문제에 대해 부정적인 해답이 존재함을 보이며, 부분공간 $Y$ 와 몫공간 $X/Y$ 가 모두 엄밀히 볼록화 가능하나, $X$ 자체는 그렇지 않은 공간 $X$ 가 존재한다.
• 중점 국소 균일 볼록성(MLUR)은 등가의 LUR 노름 존재를 함의하지 않는다.
• 유한 분기 나무의 경우, $\C_0(\Upsilon)$ 는 엄밀히 볼록 정규화가 불가능하더라도 카데크 정규화를 갖을 수 있다.
• 논문은 바나흐 공간 이론에서 핵심 정규화 성질들 간의 논리적 독립성을 명확히 하기 위해 명시적인 반례를 구성한다.