[논문 리뷰] Treewidth of display graphs: bounds, brambles and applications

Remie Janssen, Mark Jones외 3명|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 04.

Plant and animal studies참고 문헌 36인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 무근본 이진 계통수학적 나무와 네트워크로부터 생성된 표시 그래프의 트리너비를 조사하며, 일반적으로 이러한 그래프를 식별하는 것이 NP-난이도임을 증명하지만, 트리너비가 유계일 경우 선형 시간 내에 해결 가능하다는 것을 보인다. 네트워크 $N$이 나무 $T$를 표시할 때 표시 그래프의 트리너비에 대해 $2\text{tw}(N)+1$의 날카운 상한을 확립하고, 이를 바탕으로 트리너비를 매개변수로 사용하는 고정차수다항시간(FPT) 알고리즘을 개발한다.

ABSTRACT

Phylogenetic trees and networks are leaf-labelled graphs used to model evolution. Display graphs are created by identifying common leaf labels in two or more phylogenetic trees or networks. The treewidth of such graphs is bounded as a function of many common dissimilarity measures between phylogenetic trees and this has been leveraged in fixed parameter tractability results. Here we further elucidate the properties of display graphs and their interaction with treewidth. We show that it is NP-hard to recognize display graphs, but that display graphs of bounded treewidth can be recognized in linear time. Next we show that if a phylogenetic network displays (i.e. topologically embeds) a phylogenetic tree, the treewidth of their display graph is bounded by a function of the treewidth of the original network (and also by various other parameters). In fact, using a bramble argument we show that this treewidth bound is sharp up to an additive term of 1. We leverage this bound to give an FPT algorithm, parameterized by treewidth, for determining whether a network displays a tree, which is an intensively-studied problem in the field. We conclude with a discussion on the future use of display graphs and treewidth in phylogenetics.

연구 동기 및 목표

• 계통수학적 나무와 네트워크로부터 생성된 표시 그래프의 구조적 및 알고리즘적 성질을 조사한다.
• 이전 연구에서 제기된 표시 그래프 식별 문제에 대한 열린 문제를 다룬다.
• 계통수학적 네트워크 $N$이 나무 $T$를 표시할 때 표시 그래프의 날카운 트리너비 한계를 확립한다.
• 트리너비를 매개변수로 사용하여 네트워크-표시 문제에 대한 고정차수다항시간(FPT) 알고리즘을 개발한다.
• 표시 그래프와 트리너비의 보다 광범위한 적용 가능성을 계통수학적 추론과 알고리즘 설계에 대해 탐색한다.

제안 방법

• 표시 그래프 식별 문제를 트리아보리티 문제로 감소시켜 NP-난이도를 증명한다.
• 모나딕 2차 논리(MSOL)로 성질를 표현함으로써, 쿠르셀의 정리(Courcelle’s Theorem)를 이용해 트리너비가 유계인 그래프에서 표시 그래프 식별 문제가 선형 시간 내에 해결 가능하다는 것을 보인다.
• 브램블 기반의 추론을 도입하여, 네트워크 $N$과 그가 표시하는 나무 $T$의 표시 그래프에 대해 $2\text{tw}(N)+1$의 트리너비 한계가 애매함이 없는 상수항을 제외하고는 날카로운 상한임을 증명한다.
• 엣지 제거를 통한 네트워크 $N$이 나무 $T$를 표시하는 조건을 표현하기 위해 연결성, 사이클 없음, 4점형 호환성 등의 술어를 사용하는 MSOL 공식을 개발한다.
• 확립된 트리너비 한계를 활용하여 트리너비를 매개변수로 하는 네트워크-표시 문제에 대한 FPT 알고리즘을 설계한다.
• 계통수학자들이 더 익숙한 네트워크 수준과 리틱룰레이션 수를 기반으로 한 대체 트리너비 한계를 제공하여 결과의 접근성을 높인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 삼차 그래프가 억압된 표시 그래프인지 식별하는 문제는 NP-난이도인가?
• RQ2 트리너비가 유계일 경우 표시 그래프를 선형 시간 내에 식별할 수 있는가?
• RQ3 계통수학적 네트워크 $N$과 그가 표시하는 나무 $T$로부터 생성된 표시 그래프의 트리너비에 대해 가장 날카로운 상한은 무엇인가?
• RQ4 표시 그래프의 트리너비 한계를 활용하여, 주어진 네트워크가 특정 나무를 표시하는지 판단하는 데 고정차수다항시간(FPT) 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ5 네트워크 수준과 리틱룰레이션 수와 같은 매개변수들은 결과 표시 그래프의 트리너비와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 주어진 삼차 그래프가 억압된 표시 그래프인지 식별하는 문제는 NP-난이도이다.
• 트리너비가 유계일 경우, 쿠르셀의 정리와 MSOL 공식을 활용하여 표시 그래프 식별 문제를 선형 시간 내에 해결할 수 있다.
• 계통수학적 네트워크 $N$이 나무 $T$를 표시할 경우, 그들의 표시 그래프의 트리너비는 $2\text{tw}(N)+1$ 이하이며, 이 한계는 상수항 1을 제외하고는 날카로운 상한이다.
• 계통수학자들이 더 익숙한 네트워크 수준과 리틱룰레이션 수를 기반으로 한 대체 트리너비 한계가 제공된다.
• 트리너비를 매개변수로 사용하는 네트워크-표시 문제에 대한 FPT 알고리즘을 개발하였으며, 확립된 트리너비 한계를 기반으로 한다.
• 네트워크 내 나무 표시를 위한 MSOL 공식은 연결성, 사이클 없음, 4점형 호환성 등의 술어를 사용하며, 입력 크기와 무관하게 고정된 길이를 가진다.