[논문 리뷰] Triangle-free Subgraphs of Hypergraphs

Jiaxi Nie, Sam Spiro외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 23.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 25인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 최대 차수 $\triangle$를 가진 $r$-균일 초그래프에서 삼각형 없는 부분초그래프의 크기 하한을 설정하며, 이는 $e(H)/\triangle^{(r-2)/(r-1)+o(1)}$ 이상임을 보여준다. $r=3$인 경우 이 하한은 $o(1)$ 항을 제외하고 정확하며, 이 결과는 무작위 초그래프로 확장되며, $T^3$--free 부분초그래프의 최적 간선 수가 거의 확실히 $\tilde{O}(p^{1/3}n^2)$임을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper, we consider an analog of the well-studied extremal problem for triangle-free subgraphs of graphs for uniform hypergraphs. A loose triangle is a hypergraph $T$ consisting of three edges $e,f$ and $g$ such that $|e \cap f| = |f \cap g| = |g \cap e| = 1$ and $e \cap f \cap g = \emptyset$. We prove that if $H$ is an $n$-vertex $r$-uniform hypergraph with maximum degree $ riangle$, then as $ riangle ightarrow \infty$, the number of edges in a densest $T$-free subhypergraph of $H$ is at least \[ \frac{e(H)}{ riangle^{\frac{r-2}{r-1} + o(1)}}.\] For $r = 3$, this is tight up to the $o(1)$ term in the exponent. We also show that if $H$ is a random $n$-vertex triple system with edge-probability $p$ such that $pn^3 ightarrow\infty$ as $n ightarrow\infty$, then with high probability as $n ightarrow \infty$, the number of edges in a densest $T$-free subhypergraph is \[ \min\Bigl\{(1-o(1))p{n\choose3},p^{\frac{1}{3}}n^{2-o(1)}\Bigr\}.\] We use the method of containers together with probabilistic methods and a connection to the extremal problem for arithmetic progressions of length three due to Ruzsa and Szemerédi.

연구 동기 및 목표

• 삼각형 없는 그래프에 대한 고전적 툴란 문제를 루프 삼각형을 중시하는 $r$-균일 초그래프로 일반화한다.
• 최대 차수가 유한한 주어진 $r$-그래프에서 $T^r$-free 부분초그래프의 최대 간선 수를 규명한다.
• 무작위 $r$-균일 초그래프 $G_{n,p}^r$에서 이러한 최적 부분그래프의 행동을 분석한다.
• $r=3$의 경우 날카운 하한을 확립하고 $r\geq4$일 때의 하한 간격을 탐색한다.
• 루즈라-수제레디 프레임워크를 통해 최적 문제를 삼항 등차수열이 없는 집합과 연결한다.

제안 방법

• 초그래프 컨테이너 기법을 사용하여 $T^r$-free 부분초그래프의 수를 한정한다.
• 확률적 방법을 적용하여 무작위 $r$-그래프 $G_{n,p}^r$에서의 $T^r$-free 부분그래프의 기대 수를 분석한다.
• 삼각형 없는 선형 초그래프와 3항 등차수열이 없는 집합 간의 루즈라-수제레디 연결을 활용한다.
• 엔트로피 기반 수세기와 지수적 경계를 사용하여 $n$개 정점과 $m$개 간선을 가진 $T^r$-free $r$-그래프의 수에 대한 상한을 유도한다.
• 마르코프 부등식을 사용하여, 거의 확실히 $G_{n,p}^r$에서 $T^r$-free 부분그래프의 크기가 특정 크기를 초과하지 않음을 보여준다.
• such subgraphs의 수와 간선 확률을 균형 조절하여 $\mathrm{ex}(G_{n,p}^r, T^r)$의 渐近 하한을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최대 차수 $\triangle$를 가진 $r$-균일 초그래프에서 $T^r$-free 부분초그래프의 최대 간선 수는 얼마인가?
• RQ2 무작위 $r$-그래프 $G_{n,p}^r$에서 $T^3$-free 부분초그래프의 최적 간선 수는 어떻게 행동하는가?
• RQ3 $\mathrm{ex}(G, T^r) \geq e(G)/\triangle^{(r-2)/(r-1)+o(1)}$의 하한은 $r \geq 4$일 때 향상 또는 강화될 수 있는가?
• RQ4 일반적인 경우에서 $\mathrm{ex}(G, T^r)$의 최적 함수에서 $\triangle$에 대한 올바른 지수는 무엇인가?
• RQ5 $r \geq 4$일 때, $G_{n,p}^r$의 $T^r$-free 부분그래프에서 최적 간선 수는 $p$에 대해 어떻게 척도가 되는가?

주요 결과

• 모든 $r$-균일 초그래프 $G$에서 최대 차수 $\triangle$를 가질 경우, $T^r$-free 부분초그래프의 크기는 $\mathrm{ex}(G, T^r) \geq e(G)/\triangle^{(r-2)/(r-1)+o(1)}$를 만족하며, $\triangle \to \infty$일 때 성립한다.
• $r=3$인 경우 이 하한은 지수의 $o(1)$ 항을 제외하고 정확하며, 클리크 $K_t^3$ 기반의 구성에 의해 입증된다.
• 무작위 $3$-균일 초그래프 $G_{n,p}^3$에서 거의 확실히 $\mathrm{ex}(G_{n,p}^3, T^3) = \min\left\{(1-o(1))p\binom{n}{3}, p^{1/3}n^{2-o(1)}\right\}$이다.
• $r \geq 4$인 경우, 알려진 최선의 하한은 $\mathrm{ex}(G, T^r) = \Omega(\triangle^{-1/2}) \cdot e(G)$이지만, 진정한 지수는 미해결이다.
• $m = n^{3-\delta}$일 때, $n$개 정점과 $m$개 간선을 가진 $T^r$-free $r$-그래프의 수는 $\left(\frac{n^{r-1}}{m}\right)^{(1+o(1))m}$ 이하로 bound된다. 이는 최적 하한을 가능하게 한다.
• $p = n^{-r+x}$이고 $0 \leq x \leq r$일 때, $G_{n,p}^r$의 $T^r$-free 부분그래프의 기대 최적 간선 수는 $f_r(x) = \lim_{n\to\infty} \log_n \mathbb{E}[\mathrm{ex}(G_{n,p}^r, T^r)]$를 만족하며, $x \leq 3/2$일 때 $f_r(x) = x$이고 $x > 4$일 때 $f_r(x) = x-1$이며, 그 사이에는 경계가 존재한다.