[논문 리뷰] Triangle Tiling IV: A non-isosceles tile with a 120 degree angle

Michael Beeson|arXiv (Cornell University)|2012. 06. 09.

Mathematics and Applications참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 이sovceles 삼각형 타일링을 조사하며, 타일은 120°의 각을 가지며, 타일링된 삼각형 ABC와 유사하지 않다. 대수적 수론, 선형 대수학, 기하적 제약 조건을 사용하여, 그러한 N-타일링이 존재한다면, 타일의 최소 각은 π의 유리수 배일 수 없으며, 타일은 c² = a² + b² + ab를 만족하는 정수 변 길이를 가져야 한다. 또한 변들 사이에 최소한 하나의 선형 변 관계가 존재해야 한다.

ABSTRACT

An N-tiling of triangle ABC by triangle T is a way of writing ABC as a union of N trianglescongruent to T, overlapping only at their boundaries. The triangle T is the tile. The tile may or may not be similar to ABC. We wish to understand possible tilings by completely characterizing the triples (ABC, T, N) such that ABC can be N-tiled by T. In particular, this understanding should enable us to specify for which N there exists a tile T and a triangle ABC that is N-tiled by T; or given N, determine which tiles and triangles can be used for N-tilings; or given ABC, to determine which tiles and N can be used to N-tile ABC. This is one of four papers on this subject. In this paper, we take up the last remaining case: when ABC is not similar to T, and T has a 120 degree angle, and T is not isosceles (although ABC can be isosceles or even equilateral). Here is our result: If there is such an N-tiling, then the smallest angle of the tile is not a rational multiple of \pi. In total there are six tiles with vertices at the vertices of ABC. If the sides of the tile are (a,b,c), then there must be at least one edge relation of the form jb = ua + vc or ja = ub + vc, with j, u, and v all positive. The ratios a/c and b/c are rational, so that after rescaling we can assume the tile has integer sides, which by virtue of the law of cosines satisfy c^2 = a^2 + b^2 + ab. A simple unsolved specific case is when ABC is equilateral and (a,b,c) = (3,5,7). The techniques used in this paper, for the reduction to the integer-sides case, involve linear algebra, elementary field theory and algebraic number theory, as well as geometrical arguments. Quite different methods are required when the sides of the tile are all integers.

연구 동기 및 목표

• 삼각형 ABC가 120°의 각을 가진 비이등변 타일 T에 의해 N-타일링되는 삼중체 (ABC, T, N)를 완전히 특성화하는 것.
• ABC가 T와 유사하지 않을 때, 그러한 타일링이 존재할 수 있는 N의 값을 결정하는 것.
• 특히 각의 유리성과 변 관계에 중점을 두어 타일의 변 길이와 각도에 대한 필수 조건을 규명하는 것.
• 삼각형 타일링 논문 시리즈의 마지막 미해결 케이스를 해결하는 것: 유사하지도 않고 이등변도 아닌 타일이 120°의 각을 가진 경우.

제안 방법

• 크기 조정과 코사인 법칙을 사용하여 타일을 정수 변 길이로 환원하여 c² = a² + b² + ab의 식을 도출하는 것.
• 초등 체 이론과 대수적 수론을 적용하여 각의 유리성과 기하적 제약 조건을 분석하는 것.
• 선형 대수학을 사용하여 타일 변들 사이의 변 관계를 모델링하며, 양의 정수 j, u, v를 사용하여 jb = ua + vc 또는 ja = ub + vc 형태의 최소한 하나의 관계가 필요하다는 것을 보이는 것.
• 기하적 분석을 통해 삼각형 ABC의 꼭짓점에 정확히 여섯 개의 타일이 위치해 있음을 보이는 것.
• 대수적 제약 조건과 기하적 타일링 구성 요소를 결합하여 불가능한 케이스를 제거하는 것.
• 가능성 있는 N-타일링 존재 조건을 유도하기 위해 변 관계와 변 비율을 체계적으로 검토하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 정수 N에 대해 삼각형 ABC와 120°의 각을 가진 비이등변 타일 T가 존재하여, ABC가 T에 의해 N-타일링될 수 있는가?
• RQ2 그러한 N-타일링이 가능하려면 타일의 변 길이 (a, b, c)가 어떤 조건을 만족해야 하는가?
• RQ3 그러한 타일링에서 타일의 최소 각이 π의 유리수 배일 수 있는가?
• RQ4 jb = ua + vc와 같은 선형 변 관계가 그러한 타일링을 가능하게 하거나 금지하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 변 길이가 (3, 5, 7)이고 120°의 각을 가진 타일로 정삼각형 ABC를 N-타일링하는 것은 가능한가?

주요 결과

• 비이등변 타일 T가 120°의 각을 가지며, ABC가 T와 유사하지 않은 경우 N-타일링이 존재한다면, 타일의 최소 각은 π의 유리수 배일 수 없다.
• 크기 조정 후 타일은 정수 변 길이를 가져야 하며, 디오판틴 방정식 c² = a² + b² + ab를 만족해야 한다.
• 양의 정수 j, u, v를 사용하여 jb = ua + vc 또는 ja = ub + vc 형태의 최소한 하나의 변 관계가 성립해야 한다.
• 비율 a/c와 b/c는 유리수이므로, 타일은 정수 변 길이를 갖도록 스케일링할 수 있다.
• 타일링에서 정확히 여섯 개의 타일이 삼각형 ABC의 꼭짓점에 위치한다.
• 정삼각형 ABC가 (3,5,7) 타일로 타일링되는 경우는 여전히 미해결이지만, 유도된 조건을 만족한다.