[논문 리뷰] Triangular Equilibrium Points in the Generalized Photogravitational Restricted Three Body Problem with Poynting-Robertson drag

Badam Singh Kushvah, B. Ishwar|ArXiv.org|2006. 02. 25.

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한 줄 요약

이 논문은 Poynting-Robertson (P-R) 항력, 태양풍 압력, 그리고 태양풍의 영향을 받는 타원체 형태의 작은 주체를 포함하는 일반화된 광중력 제한삼체문제를 조사한다. 작은 주체는 타원체이며, 큰 주체는 복사 에너지를 방출한다. 복사압력, P-R 항력, 타원도 효과를 포함한 운동 방정식을 유도하고, $L_4$ 및 $L_5$의 왜소된 삼각형 평형점의 좌표를 해석적으로 구한다. 그 결과, 질량 감소 인자 $q_1$, P-R 항력 $W_1$, 타원도 계수 $A_2$에 의존하는 평형점의 이동 위치에 대한 폐쇄형 표현식을 도출한다.

ABSTRACT

In this paper,we have found the equations of motion of Generalized Photogravitational restricted three body problem with Poynting-Robertson drag. The problem is generalized in the sense that smaller primary is supposed to be an oblate spheroid. The bigger primary is considered as radiating. The equations of motion are affected by radiation pressure force oblateness and P-R drag. We have located triangular equilibrium points in our problem. All classical results involving photogravitational and oblateness in restricted three body problem may be verified from this result.

연구 동기 및 목표

• 복사압력, Poynting-Robertson 항력, 작은 주체의 타원도를 포함한 고전적 제한삼체문제를 확장하기 위해.
• 중력, 복사압력, 항력, 타원도 힘을 포함한 수정된 운동 방정식을 유도하기 위해.
• 이러한 일반화된 왜소에 의해 영향을 받는 삼각형 평형점 $L_4$ 및 $L_5$의 위치를 분석적으로 결정하기 위해.
• 특정 왜소가 없을 경우 고전적 결과(예: Schuerman 1980, Chernikov 1970)가 일반화된 모델의 극한 경우로 복원됨을 확인하기 위해.

제안 방법

• 차원이 없는 단위를 사용하며, $k=1$ 및 $r=1$로 설정한 회전하는 질량중심 기준좌표계에서 운동 방정식을 수립한다.
• 속도에 의존하는 항력 함수 $F = W_1 \frac{\boldsymbol{v} \boldsymbol{\times} (\boldsymbol{r} \boldsymbol{\times} \boldsymbol{v})}{r^2}$ 를 통해 Poynting-Robertson 항력 힘을 포함한다. 여기서 $W_1$ 은 항력 매개변수이다.
• 질량 감소 인자 $q_1$ 를 통해 복사압력을 포함하고, 타원도는 계수 $A_2 = \frac{r_e^2 - r_p^2}{5r^2}$ 를 통해 포함한다.
• 왜소 이론을 사용한다: 고전적 평형 거리 $r_{10} = q_1^{1/3}, r_{20} = 1$ 에서의 작은 이탈 $\epsilon_1, \epsilon_2$ 를 가정하고, 일阶로 전개한다.
• 식 (7)과 (8)을 조합하여 $y$ 와 $x+\mu$ 를 제거함으로써 평형 조건 $U_x = U_y = 0$ 을 해결하고, $\epsilon_1$ 과 $\epsilon_2$ 의 표현식을 유도한다.
• 최종적으로 $L_4$ 및 $L_5$ 의 $x$ 와 $y$ 좌표를 고전적 좌표 $x_0, y_0$ 의 왜소된 형태로 유도하며, $W_1$, $A_2$, $q_1$ 를 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Poynting-Robertson 항력과 타원도는 광중력 제한삼체문제에서 삼각형 평형점의 위치에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 복사압력, P-R 항력, 타원도가 모두 존재할 경우 $L_4$ 및 $L_5$ 의 이동된 위치에 대한 해석적 표현식은 무엇인가?
• RQ3 특정 왜소가 없는 경우 결과가 고전적 모델(예: 고전적 RTBP, 광중력 RTBP, Schuerman 1980)으로 어떻게 축소되는가?
• RQ4 평형점 좌표가 질량 감소 인자 $q_1$, P-R 항력 $W_1$, 타원도 계수 $A_2$ 에 따라 어떻게 변화하는가?

주요 결과

• 삼각형 평형점 $L_4$ 및 $L_5$ 의 좌표는 P-R 항력과 타원도에 의해 왜소되며, 그 이동은 $W_1$, $A_2$, $q_1$ 에 따라 식 (10) 및 (11)로 표현된다.
• 만약 $W_1 = 0$ 이면 결과는 타원도를 포함한 일반화된 광중력 RTBP로 축소되며, $L_4$ 및 $L_5$ 에 대한 기존의 표현식을 복원한다.
• 만약 $A_2 = 0$ 이면 결과는 Schuerman (1980)의 항력 모델로 축소되며, 이는 이전 연구와의 일致성을 확인한다.
• 고전적 극한($W_1 = 0$, $A_2 = 0$, $q_1 = 1$)에서 좌표는 $x = \frac{1}{2} - \mu$, $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ 로 주어지며, 고전적 RTBP와 일致한다.
• 복사 주체로부터의 거리 $r_1$ 에 대한 왜소는 $\epsilon_1 = -\frac{nW_1}{6(1-\mu)y_0} - \frac{A_2}{2}$ 로 주어지며, $y_0$ 와 반비례하고 $W_1$ 에 대해 선형적이다.
• 두 번째 주체로의 거리 $r_2$ 의 왜소는 $\epsilon_2 = \frac{nW_1(1 - \frac{5}{2}A_2)}{3\mu y_0}$ 로 주어지며, P-R 항력은 타원체 주체로의 거리를 증가시키며, $A_2$ 에 의해 조절됨을 나타낸다.