[논문 리뷰] Trilinear maps for cryptography II

Ming-Deh A. Huang|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 08.

Cryptography and Residue Arithmetic참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 아벨 다양체 위에서 웰 드레인을 이용해 보안을 향상시키기 위해 더 높은 차원의 드레인 다양체에 맵을 통합함으로써 암호학적으로 안전한 삼중선형 맵을 제안한다. 트랩도어 드레인 기반과 아핀 모델을 활용함으로써 효율적인 계산과 공개된 신원 검증이 가능하며, 프로젝티브 구조에 대한 알려진 공격에 저항한다.

ABSTRACT

We continue to study the construction of cryptographic trilinear maps involving abelian varieties over finite fields. We introduce Weil descent as a tool to strengthen the security of a trilinear map. We form the trilinear map on the descent variety of an abelian variety of small dimension defined over a finite field of a large extension degree over a ground field. The descent bases, with respect to which the descents are performed, are trapdoor secrets for efficient construction of the trilinear map which pairs three trapdoor DDH-groups. The trilinear map also provides efficient public identity testing for the third group. We present a concrete construction involving the jacobian varieties of hyperelliptic curves.

연구 동기 및 목표

• 유한체 위의 아벨 다양체를 이용해 암호학적으로 안전한 삼중선형 맵을 구축하는 것.
• 기본 아벨 다양체의 효과적 차원을 높이기 위해 웰 드레인을 적용함으로써 보안을 강화하는 것.
• 드레인 기반에 트랩도어 비밀을 통합하여 세 그룹 모두에서 이산 로그 문제의 난이도를 유지하는 것.
• 삼중선형 맵을 이용해 세 번째 그룹에 대해 효율적인 공개 신원 검증을 가능하게 하는 것.
• 프로젝티브 표현 방식에 대한 알려진 공격을 피하기 위해 맵과 다양체에 대해 오직 아핀 표현만을 사용하는 것.

제안 방법

• 작은 차원의 아벨 다양체 $ A $ 를 큰 확장체 $ K $ 위에서 적용하고, 웰 드레인을 통해 기저 체 $ k $ 위에 정의된 드레인 다양체 $ \tilde{A} $ 를 생성하며, 이는 차원 $ dg $ 를 가진다. 여기서 $ d = [K:k] $ 이다.
• 삼중선형 맵은 $ \tilde{A}[\rho] $ 에 정의되며, 세 그룹 $ G_1, G_2, G_3 $ 를 포함한다. 여기서 $ G_3 $ 는 $ \bbF_\rho $-대수 모듈로의 몫 $ U_1/U $ 로 구성된다.
• 맵은 $ (x\tilde{D}_\beta, yD_\beta, z+U) \to \rho^{xyz} $ 로 정의되며, 여기서 $ \rho = E(\tilde{D}_\beta, D_\beta) $ 이고 $ E $ 는 웰 페어링이다.
• 드레인 기반은 트랩도어 비밀로 사용된다: 공개되지 않지만 페어링과 군 연산의 효율적 구성에 기여한다.
• 맵과 다양체에 대해 오직 아핀 모델만을 사용하여, 구조를 폭 드러낼 수 있는 전역 드레인 기술을 피한다.
• 요소 $ G_3 $ 의 희소 인코딩을 사용하여 삼중선형 맵의 효율적 평가를 보장하며, 기저 맵 $ \rho_i $ 의 희소 선형 조합으로 대표를 선택한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 프로젝티브 모델에 대한 알려진 공격을 저지르기 위해 웰 드레인을 이용해 아벨 다양체 위에서 안전한 삼중선형 맵을 구성할 수 있는가?
• RQ2 드레인 기반이 비밀로 유지되는 한, 삼중선형 맵과 군 원소가 공개되어도 $ G_3 $ 에서 이산 로그 문제의 난이도가 유지되는가?
• RQ3 공개된 삼중선형 맵과 $ \tilde{A}[\rho] $ 상의 표본 점들로부터 드레인 다양체 $ \tilde{A} $ 를 효율적으로 재구성할 수 있는가?
• RQ4 맵과 다양체에 대해 오직 아핀 모델만을 사용하는 것이, 프로젝티브 모델에서 동차 다항식 표현을 악용하는 공격을 방지하는가?
• RQ5 삼중선형 맵을 이용해 $ G_3 $ 에 대해 공개된 신원 검증을 효율적으로 구현할 수 있는가? 이때 군의 구조가 폭 드러나지 않는다.

주요 결과

• 희소 인코딩과 아핀 모델 사용 덕분에 삼중선형 맵은 효율적으로 계산 가능하여 $ E(xD'_\beta, \rho(\text{enc}(z))(yD_\beta)) = \rho^{xyz} $ 의 실용적 평가가 가능하다.
• 공개된 삼중선형 맵과 군 원소로부터 드레인 기반을 복구할 수 없다는 가정 하에 $ G_3 $ 에서 이산 로그 문제는 안전하다.
• 맵이 오직 아핀 모델로만 정의되어 전역 드레인 기술이 없기 때문에, 프로젝티브 표현 방식을 악용하는 공격에 저항한다.
• 삼중선형 맵은 $ G_3 $ 에 대해 효율적인 공개 신원 검증을 지원하며, 군의 구조를 폭 드러내지 않고도 $ z+U $ 가 페어링을 통해 검증된다.
• 기본 체 $ k $ 위에 정의된 드레인 다양체 $ \tilde{A} $ 는 공개된 데이터로부터는 드레인 기반이 알려지지 않는 한 효율적으로 재구성될 수 없어 보안이 유지된다.
• $ \bbF_\rho $-대수와 희소 대표를 사용함으로써, 차원 $ dg $ 가 증가하더라도 맵의 효율성은 유지된다.