[논문 리뷰] Trimming and threshold selection in extremes

Martin Bladt, Hansjörg Albrecher외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 19.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 21인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 하위 순서통계량을 제거하고 나머지 항목을 재스케일링하여 극단가치 통계에서 임계값 선택을 향상시키는 잘라낸 힐 추정량을 제안한다. 이는 꼬리 특성 추정에 의존도를 줄이고, 최적의 임계값을 식별하기 위해 평탄도 기반 방법을 도입하며, 더 가벼운 꼬리에 대해 효과적인 가중치를 부여한 꼬리 지수 추정량을 제시한다. 시뮬레이션과 보험 데이터를 통해 검증되었다.

ABSTRACT

We consider removing lower order statistics from the classical Hill estimator in extreme value statistics, and compensating for it by rescaling the remaining terms. Trajectories of these trimmed statistics as a function of the extent of trimming turn out to be quite flat near the optimal threshold value. For the regularly varying case, the classical threshold selection problem in tail estimation is then revisited, both visually via trimmed Hill plots and, for the Hall class, also mathematically via minimizing the expected empirical variance. This leads to a simple threshold selection procedure for the classical Hill estimator which circumvents the estimation of some of the tail character- istics, a problem which is usually the bottleneck in threshold selection. As a by-product, we derive an alternative estimator of the tail index, which assigns more weight to large observations, and works particularly well for relatively lighter tails. A simple ratio statistic routine is suggested to evaluate the good- ness of the implied selection of the threshold. We illustrate the favourable performance and the potential of the proposed method with simulation studies and real insurance data.

연구 동기 및 목표

• 극단가치 통계에서 임계값 선택 문제를 해결함으로써 꼬리 지수 추정의 주요 장애물인 문제를 해결한다.
• 종종 고전적 임계값 선택 방법의 성능을 저해하는 복잡한 꼬리 특성 추정에 의존도를 줄인다.
• 자르기 통계를 사용하여 시각적이고 수학적으로 기반을 둔 최적의 임계값 선택 절차를 개발한다.
• 특히 더 가벼운 꼬리에 대해 효과적인, 큰 관측값에 더 많은 가중치를 할당하는 꼬리 지수 추정량을 제안한다.
• 비율 통계량을 통해 임계값 선택 품질을 평가하는 단순하고 해석 가능한 절차를 제공한다.

제안 방법

• 하위 순서통계량을 제거하고 나머지 상위 순서통계량을 재스케일링하여 고전적 힐 추정량을 수정한다.
• 자르기 힐 플롯을 사용하여 다양한 자르기 수준에서 추정량의 행동을 시각화하며, 최적의 임계값 근처에서 평탄한 경로를 드러낸다.
• 홀 클래스의 분포에 대해, 기대 경험 분산을 최소화하여 수학적으로 최적의 임계값을 결정한다.
• 큰 관측값에 더 높은 가중치를 할당하는 새로운 꼬리 지수 추정량을 유도하며, 더 가벼운 꼬리 상황에서 성능을 향상시킨다.
• 선택된 임계값의 품질을 평가하기 위한 비율 통계량을 제안하며, 실무자에게 진단 도구를 제공한다.
• 모의 실험과 보험 손실 데이터의 실제 분석을 통해 방법을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복잡한 꼬리 특성 추정에 의존하지 않고 힐 추정량의 임계값 선택을 어떻게 향상시킬 수 있는가?
• RQ2 자르기 정도에 따라 자르기 힐 추정량의 행동에서 나타나는 패턴은 무엇인가?
• RQ3 최적의 임계값 근처에서 자르기 통계량의 경로가 평탄한 특성을 자동 임계값 선택에 활용할 수 있는가?
• RQ4 제안된 가중치를 부여한 꼬리 지수 추정량은 더 가벼운 꼬리에서 고전적 힐 추정량과 비교해 분산과 편향 측면에서 어떻게 다른가?
• RQ5 간단한 비율 통계량은 실무에서 임계값 선택의 품질을 신뢰성 있게 평가할 수 있는가?

주요 결과

• 자르기 힐 플롯은 최적의 임계값 근처에서 평탄한 경로를 보이며, 임계값 선택에 대한 시각적 단서를 제공한다.
• 이 방법은 종종 고전적 임계값 선택에서 장애가 되는 꼬리 특성 추정이 필요로 하는 정도를 줄인다.
• 제안된 꼬리 지수 추정량은 큰 관측값에 더 많은 가중치를 할당하며, 상대적으로 더 가벼운 꼬리에서 향상된 성능을 보인다.
• 비율 통계량 절차는 선택된 임계값의 품질을 효과적으로 평가하며, 실용적인 진단 도구를 제공한다.
• 모의 실험과 보험 데이터 적용을 통해 이 방법의 유리한 성능과 강건성을 입증하였다.
• 임계값 선택에 대한 민감도가 감소하여 안정적이고 정확한 꼬리 지수 추정을 달성하였다.