[논문 리뷰] Triple cyclic codes over $\mathbb{Z}_2$

Hojjat Mostafanasab|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 17.

Coding theory and cryptography참고 문헌 7인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 삼중 순환 코드를 $ℤ_2$ 위에서 $ℤ_2[x]$-부분모듈로로 정의하여, 생성 다항식과 최소 생성 집합을 통해 그 구조를 특성화한다. 주요 기여는 이중 순환 코드의 결과를 일반화한 이중 코드의 완전한 특성화로, 이중 생성자와 차원 관계에 대한 명시적 공식을 포함한다.

ABSTRACT

Let $r,s,t$ be three positive integers and $\mathcal{C}$ be a binary linear code of lenght $r+s+t$. We say that $\mathcal{C}$ is a triple cyclic code of lenght $(r,s,t)$ over $\mathbb{Z}_2$ if the set of coordinates can be partitioned into three parts that any cyclic shift of the coordinates of the parts leaves invariant the code. These codes can be considered as $\mathbb{Z}_2[x]$-submodules of $\frac{\mathbb{Z}_2[x]}{\langle x^r-1 angle} imes\frac{\mathbb{Z}_2[x]}{\langle x^s-1 angle} imes\frac{\mathbb{Z}_2[x]}{\langle x^t-1 angle}$. We give the minimal generating sets of this kind of codes. Also, we determine the relationship between the generators of triple cyclic codes and their duals.

연구 동기 및 목표

• 삼중 순환 코드를 $ℤ_2[x]$-부분모듈로로 정의하고, $ℤ_2[x]$-부분모듈로서의 대수적 구조를 체계화한다.
• 이러한 코드에 대한 최소 생성 집합과 생성 다항식을 도출하여 이중 순환 코드 이론을 확장한다.
• 이중성 이론을 완전히 수립하고, 이중 코드 생성자와 차원 공식에 대한 명시적 공식을 제시한다.
• 기존의 이중 순환 코드 결과를 $ℤ_2$-선형 코드의 맥락에서 삼중 경우로 일반화한다.

제안 방법

• 길이 $r$, $s$, $t$의 세 개의 분리된 좌표 블록 내에서 순환 이동에 대해 불변인 선형 코드로 삼중 순환 코드를 정의한다.
• 코드를 $ℤ_2[x]/⌈ x^r-1⌉ \times ℤ_2[x]/⌈ x^s-1⌉ \times ℤ_2[x]/⌈ x^t-1⌉$ 의 $ℤ_2[x]$-부분모듈로 표현한다.
• 다항식 곱셈 $*$ 를 사용하여 순환 이동을 모델링하며, $x * c(x)$ 는 코드어 $c(x)$ 의 순환 이동을 나타낸다.
• 생성 다항식 $F_1(x), F_2(x), G_1(x), G_3(x)$ 를 통해 코드를 특성화하고, 다항식의 최대공약수와 몫 구조를 이용해 최소 생성 집합을 유도한다.
• 역다항식과 최대공약수 항등식을 사용하여 이중 코드 생성자 $̂{F_1}(x), ̂{F_2}(x), ̂{G_1}(x), ̂{G_2}(x), ̂{G_3}(x)$ 를 도출함으로써 이중성을 수립한다.
• 이중 투사의 차원 공식을 유도하기 위해 부호 검사 행렬의 질량 분석과 생성자 다항식의 차수 관계를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 삼중 순환 코드를 $ℤ_2$ 위에서 $ℤ_2[x]$-부분모듈로 어떻게 체계적으로 정의하고 대수적 구조를 부여할 수 있는가?
• RQ2 이러한 코드에 대한 최소 생성 집합과 생성 다항식은 무엇이며, 그들은 각 성분 순환 코드와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 삼중 순환 코드의 생성자와 그 이중 코드의 생성자 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ4 이중 코드 투사의 차원은 원래 생성자의 차수와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 이중 순환 코드의 이중성 이론은 명시적 공식을 포함하여 삼중 경우로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 삼중 순환 코드는 $ℤ_2[x]/⌈ x^r-1⌉ \times ℤ_2[x]/⌈ x^s-1⌉ \times ℤ_2[x]/⌈ x^t-1⌉$ 의 $ℤ_2[x]$-부분모듈이며, 각 블록 내에서 순환 이동에 대해 불변이다.
• 삼중 순환 코드의 최소 거리는 $d(Χ) \geq \min\{d(Χ_r), d(Χ_s), d(Χ_t)\}$ 를 만족하며, 코드가 분리 가능할 경우 등호가 성립한다.
• 코드 $Χ = \langle (F_1(x)\mid 0\mid 0), (0\mid F_2(x)\mid 0), (G_1(x)\mid 0\mid G_3(x)) \rangle$ 에 대해, 이중 코드의 투사는 크기가 각각 $2^{\deg(F_1(x))}$, $2^{\deg(F_2(x))}$, $2^{\deg(G_3(x)) + \kappa}$ 를 가진다. 여기서 $\kappa = \deg(F_1(x)) - \deg(\gcd(F_1(x), G_1(x)))$.
• 이중 생성자 $\widehat{G_3}(x)$ 의 차수는 $\deg(\widehat{G_3}(x)) = t - \deg(G_3(x)) - \deg(F_1(x)) + \deg(\gcd(F_1(x), G_1(x)))$ 로 주어진다.
• 이중 생성자 $\widehat{G_3}(x)$ 는 $\widehat{G_3}(x) = \frac{(x^t - 1) \gcd(F_1^*(x), G_1^*(x))}{F_1^*(x) G_3^*(x)}$ 를 $x^t - 1$ 모듈로로 명시적으로 주어진다.
• 생성자 $\widehat{G_1}(x)$ 는 $\nu(x)$, $\zeta(x)$ 와 역다항식을 포함하는 합동식을 만족하며, $\nu(x) = x^{m - \deg(G_3(x)) + \deg(G_1(x))} (\zeta^*(x))^{-1}$ 는 $\frac{F_1^*(x)}{\gcd(F_1^*(x), G_1^*(x))}$ 모듈로에서 정의된다.