[논문 리뷰] Trivial Low Energy States for Commuting Hamiltonians, and the Quantum PCP Conjecture

M. B. Hastings|arXiv (Cornell University)|2012. 01. 16.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 특정히 상호작용이 서로 가환하는 프로젝터를 갖는 해밀토니안이, 고정된 깊이의 국소 양자 회로로 산열된 제품 상태에서 준비 가능한 상태로 간주되는 비틀림이 없는 저에너지 상태를 갖는 조건을 규명한다. 핵심 기여는 위상적 기준이다: 만약 해밀토니안의 상호작용 복합체가 전역적으로 유계된 역상 직경을 갖는 1-복합체로 연속적으로 사상될 수 있다면, 그 해밀토니안은 비틀림이 없는 저에너지 상태를 갖는다. 이는 가환 모델에 대한 양자 PCP 추측을 이해하는 데 있어 구조적 길을 제시한다.

ABSTRACT

We consider whether or not Hamiltonians which are sums of commuting projectors have "trivial" ground states which can be constructed by a local quantum circuit of bounded depth and range acting on a product state. While the toric code only has nontrivial ground states, commuting projector Hamiltonians which are sums of two-body interactions have trivial ground states. We define an "interaction complex" for a Hamiltonian, generalizing the interaction graph, and we show that if this complex can be continuously mapped to a 1-complex using a map with bounded diameter of pre-images then the Hamiltonian has a trivial ground state assuming one technical condition on the Hamiltonian (this condition holds for all stabilizer Hamiltonians, and we also prove the result for all Hamiltonians under an assumption on the 1-complex). While this includes cases considered by Ref., it also includes other Hamiltonians whose interaction complexes cannot be coarse-grained into the case of Ref. One motivation for this is the quantum PCP conjecture. Many commonly studied interaction complexes can be mapped to a 1-complex after removing a small fraction of sites. For commuting projector Hamiltonians on such complexes, a trivial ground state for the Hamiltonian with those sites removed is a low energy trivial state for the original Hamiltonian. Such states can act as a classical witness to the existence of a low energy state. While this result applies only to commuting Hamiltonians, it suggests that to prove a quantum PCP conjecture one should consider interaction complexes which cannot be mapped to 1-complexes after removing a small fraction of cells. We define this more precisely below; in a sense this generalizes the idea of an expander graph. Surprisingly, such complexes do exist as will be shown elsewhere, and have useful properties in quantum coding theory.

연구 동기 및 목표

• 가환 해밀토니안이 비틀림이 없는 저에너지 상태를 갖는 조건을 규명하는 것, 여기서 비틀림이 없는 저에너지 상태는 제품 상태에 대한 고정된 깊이의 국소 양자 회로로 준비 가능한 상태로 정의된다.
• 기존의 1차원 및 2차원 가환 해밀토니안에서의 기본 상태의 비틀림 없음 결과를 더 넓은 범위의 상호작용 복합체 클래스로 일반화하는 것.
• 유일한 1-복합체로의 연속적 사상과 함께 전역적으로 유계된 역상 직경을 갖는 조건을 바탕으로 한 비틀림이 없는 저에너지 상태 존재를 위한 위상적 기준을 제공하는 것.
• 저에너지 상태가 수정된 복합체에서 비틀림 상태로 고전적으로 증명 가능하다는 점을 통해 양자 PCP 추측에 대한 영향을 탐색하는 것.
• 적은 수의 점을 제거한 후에도 군집화나 1-복합체로의 사상에 저항하는 상호작용 복합체가 비틀림이 없는 저에너지 거동의 후보로 되는지 조사하는 것.

제안 방법

• 해밀토니안 상호작용의 고차원 위상적 구조를 포괄하는 상호작용 복합체의 개념을 도입하여 상호작용 그래프를 일반화한다.
• 커버링 공간이 트리로 군집화될 수 있는 복합체를 '커버 1-로컬라이저블' 복합체로 정의하며, 국소 회로를 통한 비틀림 상태의 구축을 가능하게 한다.
• 상호작용 복합체에서 전역적으로 유계된 역상 직경을 갖는 1-복합체로의 연속적 사상 조건을 비틀림이 없는 저에너지 상태 존재의 충분조건으로 사용한다.
• 클러스터의 레이블된 경로를 사용하여 상호작용 복합체의 보편 커버를 구성함으로써 국소 해밀토니안의 구조와 호환되며, 고정된 깊이의 회로 구축을 가능하게 한다.
• 모든 범위와 차수에 대해 유계된 커버 1-로컬라이저블 복합체는 또한 집합 1-로컬라이저블임을 증명하며, 위상적 구조와 계산 가능성의 연결 고리를 마련한다.
• 역행이 성립한다고 추측한다: 모든 커버 1-로컬라이저블 복합체는 또한 1-로컬라이저블이며, 이는 위상적 비틀림 없음과 계산적 비틀림 없음 사이의 깊은 동치성을 시사한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가환 해밀토니안의 상호작용 복합체에 대해 어떤 위상적 조건이 비틀림이 없는 저에너지 상태 존재를 보장하는가?
• RQ2 비틀림이 없는 저에너지 상태를 갖는 해밀토니안의 범위를 1차원 또는 군집화 가능한 상호작용 복합체를 넘어서 확장할 수 있는가?
• RQ3 적은 수의 점을 제거한 수정된 복합체에서 비틀림 상태로 저에너지 상태를 얼마나 잘 증명할 수 있는가?
• RQ4 군집화를 통한 1-복합체로의 사상 외에, 비틀림이 없는 저에너지 거동을 나타내는 구조적 장벽이 있는가?
• RQ5 적은 비율의 점을 제거한 후에도 1-복합체로의 사상에 저항하는 상호작용 복합체는 양자 PCP 추측의 가장 어려운 사례에 해당하는가?

주요 결과

• 가환 해밀토니안의 상호작용 복합체가 전역적으로 유계된 역상 직경을 갖는 1-복합체로 연속적으로 사상될 수 있다면, 그 해밀토니안은 비틀림이 없는 저에너지 상태를 갖는다.
• 이 조건은 기존의 1차원 및 2차원 모델(예: 토릭 코드, 레빈-웬 모델)에서의 비틀림 없음 결과를 일반화한다.
• 이 결과는 해밀토니안에 대한 기술적 조건을 필요로 하며, 이 조건은 모든 스테이블라이저 해밀토니안에서 만족되며, 더 넓게 성립할 것이라 추측된다.
• 논문은 많은 일반적으로 연구되는 상호작용 복합체가 소수의 점을 제거한 후에만 1-복합체로 사상 가능하다는 것을 보여주며, 수정된 복합체에서의 비틀림 상태가 저에너지 상태의 고전적 증거로 사용될 수 있음을 시사한다.
• 소수의 점을 제거한 후에도 사상에 저항하는 상호작용 복합체의 존재는 양자 PCP 추측을 증명하는 데 핵심적인 목표로 제시되며, 이는 비틀림이 없는 저에너지 상태를 포함할 수 있음을 시사한다.
• 커버링 공간과 트리로의 군집화에 기반한 프레임워크를 제공함으로써, 위상적 구조가 직접적으로 양자 상태 준비의 계산적 비틀림 없음을 암시한다.