[논문 리뷰] Tropical Feynman integration in the Minkowski regime

Michael Borinsky, Henrik J. Munch외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 01. 01.

Numerical Methods and Algorithms인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 고차 루프 피드백 적분을 물리적 민코프스키 영역에서 평가하기 위한 새로운 수치 도구 feyntrop를 소개한다. 이 도구는 토폴로지 기하학을 사용하며, 사영적이고 매개변수화된 표현 방식을 구현하여 인과성에 기반한 iε 규정을 명시적으로 표현하면서도 게이지 및 사영 불변성을 유지한다. 이로 인해 많은 보편자와 운동량 스케일을 가진 준유한, 차원 조정된 적분에 대해 효율적인 몬테카를로 적분이 가능해진다.

ABSTRACT

We present a new computer program, feyntrop, which uses the tropical geometric approach to evaluate Feynman integrals numerically. In order to apply this approach in the physical regime, we introduce a new parametric representation of Feynman integrals that implements the causal iε prescription concretely while retaining projective invariance. feyntrop can efficiently evaluate dimensionally regulated, quasi-finite Feynman integrals, with not too exceptional kinematics in the physical regime, with a relatively large number of propagators and with arbitrarily many kinematic scales. We give a systematic classification of all relevant kinematic regimes, review the necessary mathematical details of the tropical Monte Carlo approach, give fast algorithms to evaluate (deformed) Feynman integrands, describe the usage of feyntrop and discuss many explicit examples of evaluated Feynman integrals. Program title:feyntrop. CPC Library link to program files:https://doi.org/10.17632/k6r62hdgvd.1 Developer's repository link:https://github.com/michibo/feyntrop. Licensing provisions: MIT License. Programming language: The tropical Monte Carlo code is written in C++. The high-level interface is written in python. Supplementary material: The repository includes installation and usage instructions (README.md), a jupyter notebook tutorial (tutorial_2L_3pt.ipynb), the collection of examples presented in section 6 (see the folder /examples), and a test suite to ensure a successful installation (see the folder /tests). Nature of problem: Sufficiently fast numerical integration of (dimensionally regularized) Feynman integrals (also in the Minkowski regime of phase space). Solution method: Tropical Monte Carlo integration of a manifestly iε-free parametric representation of Feynman integrals. Additional comments: The program feyntrop is based on previous code available at https://github.com/michibo/tropical-feynman-quadrature, which was published as a proof-of-concept with, Michael Borinsky, ‘Tropical Monte Carlo quadrature for Feynman integrals’, Ann. Inst. Henri Poincaré Comb. Phys. Interact. (in press)[1]. This previous code did not have features which are required for phenomenological studies in high-energy physics. In particular, it only allowed for phase space points in the Euclidean regime, and only computed the leading term in the ϵ expansion. Restrictions: The Feynman integral must be quasi-finite and the momentum configuration must be sufficiently generic. Numerators of Feynman integrals are not implemented. Eigen3[2]. The xoshiro256+ pseudo-random-number generator [3]. python[4]. pybind11[5]. sympy[6].

연구 동기 및 목표

• 표준 유클리드 방법이 실패하는 물리적 민코프스키 영역에서 피드백 적분을 평가하기 위한 강력한 수치적 방법을 개발하는 것.
• 게이지 및 사영 불변성을 유지하면서도, iε 규정을 명시적으로 표현하는 사영적 매개변수화를 구현하는 것.
• 많은 보편자와 임의의 운동량 스케일을 가진 준유한, 차원 조정된 피드백 적분에 대해 효율적인 수치 적분을 가능하게 하는 것.
• 사용자 간섭 없이 물리적 영역에서 경로 변형을 자동화하는 것.
• 양자장론에서 고차 루프 계산을 위한 확장 가능하고 고성능 도구를 제공하는 것.

제안 방법

• 사영 불변성을 유지하면서도 iε 규정을 명시적으로 포함하는 피드백 적분의 새로운 매개변수 표현을 사용한다.
• 일반화된 순열체를 통한 토폴로지 기하학적 샘플링을 통해 적분 영역을 효율적으로 샘플링하고, 이로 인해 몬테카를로 적분이 가능해진다.
• 시만직키 다항식 U와 F의 도함수를 포함한 (변형된) 피드백 적분수를 신속하게 평가하기 위한 알고리즘을 적용한다.
• 시만직키 다항식의 뉴턴 다면체를 기반으로 한 토폴로지 샘플링을 구현하며, 이는 조합 기하학에서 유도된 면 표현을 사용한다.
• 민코프스키 서명을 처리하기 위해 변형 매개변수를 사용하며, 이는 예외적인 운동량 구성에서도 수렴을 보였다.
• 모든 CPU 코어를 활용한 병렬 처리를 지원하며, 차원 조정 및 ǫ-전개와의 통합도 가능하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 인과성에 기반한 iε 규정은 어떻게 사영적 매개변수 표현에서 구체적으로 구현될 수 있는가?
• RQ2 임의의 운동량 스케일을 가진 물리적 민코프스키 영역의 피드백 적분에 대해 토폴로지 몬테카를로 샘플링을 효과적으로 적용할 수 있는가?
• RQ3 많은 보편자와 다수의 스케일을 가진 고차 루프, 다중 스케일 다이어그램에 대해 이 방법의 성능과 수렴 특성은 어떠한가?
• RQ4 표준 샘플링이 실패하는 예외적인 운동량 구성에서 이 방법은 어떻게 적분을 처리하는가?
• RQ5 고차 루프 계산에서 효율성을 유지하기 위해 적분수 도함수를 위한 빠른 평가 알고리즘을 구성할 수 있는가?

주요 결과

• feyntrop는 최대 5루프 및 많은 보편자를 가진 차원 조정된 준유한 피드백 적분을 물리적 영역에서 성공적으로 평가한다.
• 무한한 수의 운동량 스케일을 가진 적분을 처리할 수 있으며, 예외적인 운동량 구성에서도 수치적 안정성을 유지하지만, 수렴 속도는 감소할 수 있다.
• F 다항식의 도함수(최대 2차까지)를 신속하게 평가하기 위한 알고리즘을 유도하고 구현하여 효율적인 적분수 평가를 가능하게 하였다.
• 다양한 예제들에 대해 신뢰할 수 있는 수렴을 달성하였으며, 이는 5루프 2점 지그재그 다이어그램과 4루프 진공 다이어그램을 포함한다.
• 이론적으로 샘플링 붕괴가 우려되었음에도 불구하고, 예외적인 운동량 구성에서 준유한 적분에 대해 실패 사례가 관찰되지 않았다.
• 이 도구는 오픈소스이며 GitHub에서 공개되어 있으며, 일부 예제에 대해 pySecDec를 사용한 별도의 검증을 통해 결과가 확인되었다.