[논문 리뷰] Trudinger-Moser inequality on the whole plane with the exact growth condition

Slim Ibrahim, Nader Masmoudi외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 10. 08.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 24인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 전체 평면에서 비선형 함수형에 정확한 성장 조건을 부여한 날카운 Trudinger-Moser 부등식을 수립하며, 유계성과 컴act성에 대한 필요 및 충분 조건을 제공한다. 이는 지수적 및 거듭제곱형 감쇠에 따라 비선형성의 임계 성장 행동를 특성화하여 이전 결과들을 통합하고 개선하며, 비선형 슈뢰딩거 및 클라인-고든 방정식에서 기저 상태의 존재성과 에너지 상한에 직접 적용 가능하다.

ABSTRACT

Trudinger-Moser inequality is a substitute to the (forbidden) critical Sobolev embedding, namely the case where the scaling corresponds to $L^\infty$. It is well known that the original form of the inequality with the sharp exponent (proved by Moser) fails on the whole plane, but a few modified versions are available. We prove a precised version of the latter, giving necessary and sufficient conditions for the boundedness, as well as for the compactness, in terms of the growth and decay of the nonlinear function. It is tightly related to the ground state of the nonlinear Schrodinger equation (or the nonlinear Klein-Gordon equation), for which the range of the time phase (or the mass constant) as well as the energy is given by the best constant of the inequality.

연구 동기 및 목표

• 전체 평면에서 Trudinger-Moser 유형 부등식이 성립하는 정확한 성장 조건을 특성화하는 열린 문제를 해결하기 위해.
• 비노름 강화 없이 임계 지수 $4\tau$를 사용할 경우 실패하거나 최적화되지 않는 이전 결과들을 통합하고 개선하기 위해.
• 비선형 함수형 $e^{4\tau|u|^2}$를 포함하는 $H^1(\mathbb{R}^2)$ 내의 함수형의 유계성과 컴팩트성에 대한 필요 및 충분 조건을 제공하기 위해.
• 부등식의 최적 상수와 비선형 슈뢰딩거 및 클라인-고든 방정식에서 기저 상태의 존재성과 에너지 상한 사이의 관계를 연결하기 위해.
• 변분 및 척도화 추론을 통해 부등식의 적용 가능성을 초임계 및 초임계 비선형성으로 확장하기 위해.

제안 방법

• 성장 추정치를 사용하여 $ g(u) $에 대한 성장 추정치를 활용해 제약 조건 $ \|\nabla \varphi\|_{L^2}^2 \leq 2\pi K $ 하에서 함수형 $ G(\varphi) = \int_{\mathbb{R}^2} g(\varphi(x)) \, dx $ 의 유계성에 대한 필요 및 충분 조건을 유도하기 위해.
• 대칭 감소 재배열과 Moser 유형의 추론을 사용하여 특히 $ g(u) = \frac{e^{4\pi|u|^2} - 1}{(1 + |u|)^2} $ 에 대해 날카운 지수 성장 분석을 수행하기 위해.
• 횔더 부등식과 테일러 전개를 사용하여 $ |u|^2 $ 의 $ L^p $ 노름을 제어하고, $ L^2 $ 과 지수 성장 사이의 보간을 가능하게 하기 위해.
• 0과 무한대 근처에서 $ g(u) $ 의 행동을 $ \varlimsup $ 조건을 통해 분석: $ \varlimsup_{|u|\to\infty} e^{-2|u|^2/K} |u|^2 g(u) < \infty $ 과 $ \varlimsup_{u\to 0} |u|^{-2} g(u) < \infty $.
• 집중-콤팩트성 원리를 적용하여 컴팩트성을 확립하고, 무한대에서 성장 조건의 붕괴가 컴팩트성 실패와 연결됨을 밝히기 위해.
• 비선형 슈뢰딩거 방정식에 결과를 적용하여 최적 상수 $ C_{f,\kappa_0} $ 가 기저 상태 $ Q_c $ 가 존재하는 조건 $ c \leq c_* $ 와 관련됨을 연결하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Borel 함수 $ g: \mathbb{R} \to [0,\infty) $ 에 대해, $ \|\nabla \varphi\|_{L^2}^2 \leq 2\pi K $ 조건 하에서 함수형 $ G(\varphi) = \int_{\mathbb{R}^2} g(\varphi(x)) \, dx $ 가 유계가 되기 위한 필요 및 충분 조건은 무엇인가요?
• RQ2 $ G(\varphi) $ 에 대한 최소화 수열의 컴팩트성은 $ g(u) $ 의 성장에 어떻게 영향을 받나요? $ H^1(\mathbb{R}^2) $ 에서.
• RQ3 지수 분모를 포함하도록 비선형성을 수정함으로써, $ \mathbb{R}^2 $ 에서의 고전적 Trudinger-Moser 부등식을 통합하고 날카롭게 만들 수 있는가요?
• RQ4 Trudinger-Moser 부등식의 최적 상수와 비선형 슈뢰딩거 방정식에서 기저 상태의 존재성 사이의 정확한 관계는 무엇인가요?
• RQ5 $ f $ 에 어떤 조건이 성립할 경우 비선형 슈뢰딩거 방정식이 유한 에너지를 갖는 기저 상태를 가지며, 이는 $ f(u) $ 의 성장과 어떻게 연결되는가요?

주요 결과

• 모든 $ u \in H^1(\mathbb{R}^2) $ 에 대해 $ \|\nabla u\|_{L^2} \leq 1 $ 라면 부등식 $ \int_{\mathbb{R}^2} \frac{e^{4\pi|u|^2} - 1}{(1 + |u|)^2} \, dx \leq c \|u\|_{L^2}^2 $ 가 성립하며, 분모의 지수 2 를 임의의 $ p < 2 $ 로 대체하면 실패한다.
• 함수형 $ G(\varphi) $ 의 유계성은 조건 $ \varlimsup_{|u|\to\infty} e^{-2|u|^2/K} |u|^2 g(u) < \infty $ 과 $ \varlimsup_{u\to 0} |u|^{-2} g(u) < \infty $ 와 동치이며, 이는 모두 필요 및 충분 조건이다.
• 임베딩 $ H^1(\mathbb{R}^2) \to L^g $ 의 컴팩트성은 $ \varlimsup_{|u|\to\infty} e^{-2|u|^2/K} |u|^2 g(u) = 0 $ 이 성립할 때에만 성립하며, 이는 엄격한 초지수 성장임을 나타낸다.
• 부등식의 최적 상수 $ C_{f,\kappa_0} $ 는 비선형 슈뢰딩거 방정식에서 기저 상태 $ Q_c $ 가 존재할 수 있는 최대 질량 $ c_* $ 를 결정하며, $ \varlimsup_{|u|\to\infty} f(u) e^{-\kappa_0 |u|^2} |u|^2 = \infty $ 이면 $ c_* = \infty $ 이다.
• 이 부등식은 Proposition 1.2 (for $ \alpha < 4\pi $) 과 Proposition 1.3 (for $ \|u\|_{H^1} \leq 1 $) 를 모두 포함하며, 통합적 개선임을 보여준다.
• 비선형 슈뢰딩거 방정식에서 기저 상태의 에너지는 $ \kappa_0 \|\nabla Q_c\|_{L^2}^2 \leq 4\pi $ 를 만족하며, 등호는 $ c = c_* $ 일 때에만 성립한다.