[논문 리뷰] Truncated convolution of character sheaves

G. Lusztig|arXiv (Cornell University)|2013. 08. 05.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 20인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 재수정된 대수적 군과 루즈티그의 문자층 이론의 맥락에서 문자층 위의 잘린 컨볼루션 연산을 도입한다. 이는 왜곡된 유도 함수 사이의 자연스러운 동형사상 수립과 함께, 잘린 컨볼루션 연산이 무게 필터링과 휘어진 필터링을 유지함을 증명하며, 웨일 군의 그로텐디크 군 위의 추적 공식과 군 준동형사상에 의한 문자층의 그로텐디크 군의 새로운 특성화로 이어진다.

ABSTRACT

Let G be a reductive connected group over an algebraic closure of a finite field. I define a tensor structure on the category of perverse sheaves on G which are direct sums of unipotent character sheaves in a fixed two-sided cell, in accordance with a conjecture I have made in 2004. I also show that that the resulting monoidal category is equivalent to the centre of a monoidal category which I defined in 1997 (a categorical version of the J-ring attached to the same two-sided cell), thus verifying a conjecture of Bezrukavnikov, Finkelberg, Ostrik. A possible interpretation of unipotent characters associated to a finite noncrystallographic Coxeter group is given.

연구 동기 및 목표

• 재수정된 대수적 군의 맥락에서 문자층 위의 잘린 컨볼루션 연산을 정의하고 연구하기.
• 이전 문헌에서의 결과를 일반화하여, 왜곡된 유도 함수와 잘린 컨볼루션 사이의 자연스러운 동형사상 수립.
• 잘린 컨볼루션 연산이 유도 범주에서의 무게 필터링과 휘어진 필터링을 유지함을 증명하기.
• 웨일 군의 그로텐디크 군 위의 추적 공식과 군 준동형사상을 이용하여 문자층의 그로텐디크 군을 특성화하기.
• 이전 작업에서의 결과에 대한 특성수 0의 동치 결과를 제공하여, 리 유형 유한군의 표현 이론과 관련성 제공.

제안 방법

• 특정 무게 수준에서의 잘림을 포함한 컨볼루션과 결합된 잘린 유도 함수 $ \chi $를 정의하며, $ a + \nu + r $-이동된 문자층 구성 방식을 사용한다.
• 잘린 컨볼루션의 작용을 $ \bb{Z} $-모듈의 수준으로 올리기 위해 그로텐디크 군 $ \Cal{C}^{b{c}}_0 G $ 를 사용한다.
• 원소 $ D_c $ 에서는 1, 그 외에는 0을 할당하는 군 준동형사상 $ \tau: J^c \to \bb{Z} $ 를 도입하여, 추적 공식을 통해 Hom-차원을 계산한다.
• 모르피즘 $ c, c', t, u, d $ 에 따른 당김과 밀림을 포함한 다이어그램 추적을 통해 $ G $-등변성 조건을 활용하여 자연스러운 동형사상 $ \chi(L \bullet L') = \chi(L' \bullet L) $ 를 수립한다.
• 구분된 삼각형 분해 $ (\tau_{>i}X, \tau_{\leq i}X, X^i[-i]) $ 를 적용하여 무게 필터링을 분석하고, 특정 조건 하에서 $ \Phi $ 가 $ \prec $-필터링을 유지함을 증명한다.
• 웨일 군의 기약 표현 간의 수직성 조건을 활용하여, Hom-차원 계산을 $ J^c \otimes \bb{C} $ 위의 군 연산자의 추적으로 환원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 문자층 위의 잘린 컨볼루션 연산은 $ G $-등변층의 유도 범주에서 표준 컨볼루션과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 잘린 컨볼루션 연산이 유도 범주에서 휘어진 필터링과 무게 구조를 유지하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 잘린 유도 함수는 그로텐디크 군 내에서 왜곡된 컨볼루션 연산과 자연스럽게 동일시될 수 있는가?
• RQ4 $ \dim \text{Hom}_{\Cal{C}^c G}(\underline{\chi}(\mathbb{L}_z), \underline{\chi}(\mathbb{L}_u)) $ 의 정확한 추적 공식은 무엇이며, 웨일 군 표현 이론과의 관계는 어떻게 되는가?
• RQ5 $ G $-등변성 조건이 그로텐디크 군 내에서 대칭성 $ \chi(L \bullet L') = \chi(L' \bullet L) $ 를 가능하게 하는 방식은 무엇인가?

주요 결과

• 모든 $ G $-등변 $ L' $ 에 대해 잘린 컨볼루션 연산은 $ \chi(L \bullet L') = \chi(L' \bullet L) $ 를 만족하며, 이는 그로텐디크 군 내에서 자연스러운 대칭성을 수립한다.
• Hom-공간의 차원 $ \dim \text{Hom}_{\Cal{C}^c G}(\underline{\chi}(\mathbb{L}_z), \underline{\chi}(\mathbb{L}_u)) $ 는 $ (-1)^{|z|+|u|} \sum_{y \in \mathbb{c}} \tau(t_{y^{-1}} t_z t_y t_{u^{-1}}) $ 로 주어지며, 이는 음이 아닌 정수이다.
• 잘린 유도 함수 $ \chi $ 는 $ \underline{\chi}(\mathbb{L}_z) = \underline{R_z^{n_z}}(n_z/2) $ 를 만족하며, 이는 표준 유도 표현과 연결된다.
• 복합체의 무게 $ \leq i $ 에 대해 함수자 $ \Phi $ 의 작용은 $ \prec $-필터링을 유지하며, 제시된 조건 하에서 $ (\Phi(\mathbb{X}))^j \in \Cal{M}^{\prec}Y_2 $ 이다.
• 제시된 필터링 및 무게 제약 조건 하에서 자연스러운 동형사상 $ \underline{(\Phi(\underline{\mathbb{X}^{\{c'\}}}))^{\{c\}}} = \underline{(\Phi(\mathbb{X}))^{\{c+c'\}}} $ 가 성립한다.
• 추적 공식은 $ y \in \mathbb{c} $ 에 대한 합으로 환원되며, $ t_z t_y t_u^{-1} $ 에서 $ t_y $ 의 계수는 $ \tau(t_{y^{-1}} t_z t_y t_{u^{-1}}) $ 이며, 이는 $ y^{-1} = t_z t_y t_u^{-1} $ 일 때 1, 그 외에는 0이다.