[논문 리뷰] Truncation errors and modified equations for the lattice Boltzmann method via the corresponding Finite Difference schemes

Thomas Bellotti|arXiv (Cornell University)|2022. 05. 05.

Lattice Boltzmann Simulation Studies인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 라티스 보르츠만 방법에 대해 엄밀한 일致성 분석을 수립하며, 이를 위해 보존 변수에 대한 다단계 유한차분 방법으로 재구성함으로써 음향 및 확산 스케일링 하에서 2차까지 수정된 방정식 유도를 가능하게 한다. 이 방법은 이산 수준에서 비보존 모멘트를 정확히 제거함으로써 이전의 형식적 방법과 동일한 결과를 도출하지만, 철저한 수학적 엄밀성을 확보하여 라크스 등가정리의 적용이 가능하게 한다. 이를 통해 수렴 분석이 가능해진다.

ABSTRACT

Lattice Boltzmann schemes are efficient numerical methods to solve a broad range of problems under the form of conservation laws. However, they suffer from a chronic lack of clear theoretical foundations. In particular, the consistency analysis and the derivation of the modified equations are still open issues. This has prevented, until today, to have an analogous of the Lax equivalence theorem for Lattice Boltzmann schemes. We propose a rigorous consistency study and the derivation of the modified equations for any lattice Boltzmann scheme under acoustic and diffusive scalings. This is done by passing from a kinetic (lattice Boltzmann) to a macroscopic (Finite Difference) point of view at a fully discrete level in order to eliminate the non-conserved moments relaxing away from the equilibrium. We rewrite the lattice Boltzmann scheme as a multi-step Finite Difference scheme on the conserved variables, as introduced in our previous contribution. We then perform the usual analyses for Finite Difference by exploiting its precise characterization using matrices of Finite Difference operators. Though we present the derivation of the modified equations until second-order underacoustic scaling, we provide all the elements to extend it to higher orders, since the kinetic-macroscopic connection is conducted at the fully discrete level. Finally, we show that our strategy yields, in a more rigorous setting, the same results as previous works in the literature.

연구 동기 및 목표

• 라티스 보르츠만 방법에 대한 엄밀한 이론적 기초가 장기간 부재한 문제를 해결하고자 하며, 특히 일치성 및 수정된 방정식 유도 측면에서 이론적 기초를 강화하고자 한다.
• 운동론적 라티스 보르츠만 스킴과 매크로스코픽 유한차분 스킴 사이의 격차를 완전히 이산화된 변환을 통해 해소하고자 한다.
• 기존의 형식적 방법(예: 맥스웰 반복법 및 등가 방정식)을 정당화할 수 있는 수학적으로 타당한 프레임워크를 제공하고자 한다.
• 타겟 PDE와의 일치성을 확립함으로써 라크스 등가정리를 라티스 보르츠만 스킴에 적용할 수 있도록 하고자 한다.
• 행렬 기반의 이산 연산자 형식을 통해 수정된 방정식 분석을 고차항 및 임의의 시간-공간 스케일링으로 확장하고자 한다.

제안 방법

• 완전히 이산화된 운동론적-매크로스코픽 변환을 통해 라티스 보르츠만 스킴을 보존 모멘트에 대한 다단계 유한차분 스킴으로 재구성한다.
• 유한차분 연산자의 행렬 표현을 활용하여 스킴을 정확히 특성화하고 표준 절단 오차 분석을 수행한다.
• 비보존 모멘트를 이산 수준에서 정확히 제거함으로써, 준평형 가정이나 다중 시간 척도에 의존하지 않는다.
• 형식적 멱급수와 행렬 함수(행렬식 및 수반행렬)를 사용하여 라티스 보르츠만 스킴과 그에 대응하는 유한차분 스킴 간의 관계를 수립한다.
• 라티스 보르츠만 스킴에 맥스웰 반복법를 적용하고, 이가 유한차분 형식에서 도출된 수정된 방정식과 동치임을 증명한다.
• 기호 계산의 잠재력을 활용하여 임의의 라티스 보르츠만 스킴에 대해 수정된 방정식 유도를 자동화할 수 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비형식적 또는 점근적 전개에 의존하지 않고도 라티스 보르츠만 스킴의 일치성을 엄밀하게 확립할 수 있는가?
• RQ2 라티스 보르츠만 스킴에 대해 이산 수준에서 전체 수학적 정밀도로 수정된 방정식을 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ3 라티스 보르츠만 스킴에 적용했을 때 맥스웰 반복법로 유도된 수정된 방정식이 유한차분 분석과 동치인가?
• RQ4 타겟 PDE와의 일치성을 확립함으로써 라크스 등가정리를 라티스 보르츠만 스킴에 적용할 수 있는가?
• RQ5 라티스 보르츠만 스킴의 수정된 방정식과 그에 대응하는 유한차분 형식 간의 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 라티스 보르츠만 스킴이 보존 변수에 대한 다단계 유한차분 스킴으로 엄밀히 재구성되어, 표준 절단 오차 및 일치성 분석이 가능해졌다.
• 유한차분 접근을 통해 도출된 수정된 방정식은 맥스웰 반복법로 얻어진 것과 어떤 차수에서든 동일하며, 후자의 사후적 정당화를 제공한다.
• 준평형 또는 다중 시간 척도에 대한 가정을 피하고, 비보존 모멘트를 이산 수준에서 정확히 제거함으로써 보다 엄밀한 분석이 가능해졌다.
• 주요 차수의 수정된 방정식은 이전의 형식적 방법과 동일하지만, 이제는 철저한 수학적 엄밀성으로 도출되었다.
• 이 프레임워크는 고차항 및 임의의 시간-공간 스케일링으로의 확장을 가능하게 하며, 이러한 확장을 위한 모든 필수 구성 요소가 논문에 포함되어 있다.
• 결과적으로 맥스웰 반복법 및 등가 방정식 방법의 사용이 수치해석적 관점에서 정당화되었으며, 이들의 이론적 타당성이 입증되었다.