[논문 리뷰] Tug-of-War games and parabolic problems with spatial and time dependence

Leandro M. Del Pezzo, Julio D. Rossi|arXiv (Cornell University)|2012. 08. 30.

Guidance and Control Systems참고 문헌 22인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 공간 및 시간에 따라 변하는 이동 집합을 갖는 Tug-of-War 게임과 무한 라플라스 연산자를 포함하는 계수가 변하는 파라보릭 PDE의 점성 해 사이의 확률적 연결을 수립한다. 표준 Tug-of-War 게임을 가우스의 집합 $\mathcal{A}_\varepsilon(x,t)$에 의해 결정되는 이동 집합으로 일반화함으로써, 저자들은 해밀토니안-자브리지-벨만 형식의 방정식을 유도하고, 게임 가치의 연속 극한이 딜리클레 경계 조건을 갖는 결과 PDE의 점성 해로 균일 수렴함을 증명한다.

ABSTRACT

In this paper we use probabilistic arguments (Tug-of-War games) to obtain existence of viscosity solutions to a parabolic problem of the form $$ {cases} K_{(x,t)}(D u)u_t (x,t)= \frac12 $.

연구 동기 및 목표

• 공간 및 시간에 따라 변하는 이동 집합을 포함하는 Tug-of-War 게임을 통해 무한 라플라스 연산자의 확률적 해석을 일반화한다.
• 게임의 이동 집합이 공간과 시간에 모두 의존할 경우 발생하는 극한 PDE를 특성화한다.
• 게임 이론적 접근을 통해 계수가 변하는 일반화된 파라보릭 문제에 대한 점성 해의 존재성을 확립한다.
• 기존의 Tug-of-War 게임 프레임워크를 비구형, 이방향성 및 시간에 의존하는 허용 가능한 이동을 허용하도록 일반화한다.

제안 방법

• 공간과 시간에 따라 달라지는 집합 $\mathcal{A}_\varepsilon(x,t)$에서 이동을 선택하는 Tug-of-War 게임을 도입하며, 표준 구 $\overline{B_\varepsilon(x)}$를 대체한다.
• 게임 가치 함수 $u_\varepsilon(x,t)$를 정의하고, $\mathcal{A}_\varepsilon(x,t)$ 위에서의 sup-inf 평균을 포함하는 동적 프로그래밍 원칙(DPP)을 만족시킨다.
• 점성 해 이론과 컴팩턴스 추론을 사용하여 $\varepsilon \to 0$일 때 $u_\varepsilon$의 균일 수렴을 증명한다.
• DPP의 점근적 분석을 통해 극한 PDE를 $K_{(x,t)}(Du)u_t = \frac{1}{2}\langle D^2u J_{(x,t)}(Du), J_{(x,t)}(Du) \rangle$로 식별한다.
• 점성 해 프레임워크를 사용하여, 이동 집합에 대한 조건 A1–A4 하에서 극한 함수가 점성 의미에서 PDE를 만족함을 입증한다.
• 이동 집합의 극한 방향을 정의하는 사상 $J_{(x,t)}$와 $I_{(x,t)}$를 통해 게임 최적 전략과 기울기 방향 간의 연결을 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 공간 및 시간에 따라 변하는 이동 집합을 갖는 Tug-of-War 게임의 연속 극한으로 나타날 수 있는 파라보릭 PDE의 클래스는 무엇인가?
• RQ2 이동 집합 $\mathcal{A}_\varepsilon(x,t)$의 선택이 $\varepsilon \to 0$일 때의 결과 PDE에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 게임 이론적 방법을 통해 계수가 변하는 파라보릭 문제에 대한 점성 해를 구성할 수 있는가?
• RQ4 이동 집합에 어떤 조건이 성립하면 게임 가치가 잘 정의된 PDE의 해로 수렴하는가?
• RQ5 사상 $J_{(x,t)}$와 $I_{(x,t)}$는 게임 역학의 이방향성 및 시간 의존성을 어떻게 표현하는가?

주요 결과

• 게임 가치 $u_\varepsilon$의 연속 극한 $v$는 영역 $\Omega_T$ 내에서 파라보릭 PDE $K_{(x,t)}(Du)u_t = \frac{1}{2}\langle D^2u J_{(x,t)}(Du), J_{(x,t)}(Du) \rangle$의 점성 해이다.
• 극한 PDE는 $J_{(x,t)}$와 $I_{(x,t)}$를 통해 공간 및 시간 의존성을 포함함으로써 무한 라플라스 진화 방정식을 일반화한다.
• 이동 집합에 대한 조건 A1–A4 하에서 $\varepsilon \to 0$일 때 균일 수렴 $u_\varepsilon \rightrightarrows v$ 가 성립한다.
• 점성 해는 파라보릭 경계 $\Gamma = \partial\Omega \times [0,T] \cup \Omega \times \{0\}$ 에서 경계 조건 $v = F$ 를 만족한다.
• PDE의 구조는 DPP의 점근적 전개로부터 자연스럽게 유도되며, 두 번째 항은 $J_{(x,t)}(Du)$ 방향의 곡률를 기록한다.
• 구체적 예시들은 서로 다른 이동 집합이 다른 PDE를 유도함을 보여준다. 예를 들어 $\mathcal{A}_1$을 사용할 경우 PDE는 $v \neq 0$일 때 $G(M,v,s,x,t) = \frac{c+1}{2}s - \frac{\rho^2}{2|v|^2}\langle Mv,v \rangle$ 가 된다.