[논문 리뷰] Tukey classification of some ideals in $\omega$ and the lattices of weakly compact sets in Banach spaces

Antonio Avilés, Grzegorz Plebanek외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 06. 20.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 25인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 분리 가능 바나흐 공간에서 약하게 컴팩트 부분집합의 격자 구조를 분석 결정성의 공리 아래에서 Tukey 감소를 이용해 분류한다. 이는 이러한 공간들에 대해 K(BX)가 네 가지 표준 부분순서집합 중 하나와 Tukey 동치임을 보이며, 거리 기반의 거의 포함 관계를 포함하는 AK(BX) 프레임워크를 통해 보다 정교한 분류를 제공한다. 주요 기여는 분석 결정성의 공리 하에서 완전한 Tukey 분류를 확립한 것으로, ℓ₁을 포함하지 않는 공간들에 대해서는 ZFC 결과를 도출한다.

ABSTRACT

We study the lattice structure of the family of weakly compact subsets of the unit ball $B_X$ of a separable Banach space $X$, equipped with the inclusion relation (this structure is denoted by $\mathcal{K}(B_X)$) and also with the parametrized family of almost inclusion relations $K \subseteq L+\epsilon B_X$, where $\epsilon>0$ (this structure is denoted by $\mathcal{AK}(B_X)$). Tukey equivalence between partially ordered sets and a suitable extension to deal with $\mathcal{AK}(B_X)$ are used. Assuming the axiom of analytic determinacy, we prove that separable Banach spaces fall into four categories, namely: $\mathcal{K}(B_X)$ is equivalent either to a singleton, or to $\omega^\omega$, or to the family $\mathcal{K}(\mathbb{Q})$ of compact subsets of the rational numbers, or to the family $[\mathfrak{c}]^{<\omega}$ of all finite subsets of the continuum. Also under the axiom of analytic determinacy, a similar classification of $\mathcal{AK}(B_X)$ is obtained. For separable Banach spaces not containing $\ell^1$, we prove in ZFC that $\mathcal{K}(B_X) \sim \mathcal{AK}(B_X)$ are equivalent to either $\{0\}$, $\omega^\omega$, $\mathcal{K}(\mathbb{Q})$ or $[\mathfrak{c}]^{<\omega}$. The lattice structure of the family of all weakly null subsequences of an unconditional basis is also studied.

연구 동기 및 목표

• 분리 가능 바나흐 공간에서 약하게 컴팩트 부분집합의 격자 구조를 Tukey 감소를 이용해 분류하기.
• AK(BX) 프레임워크를 통해 거리 정보를 포함한 메트릭 기반 거의 포함 관계를 도입하여 분류를 확장하기.
• 분 析 결정성의 공리 하에서 K(BX)가 네 가지 표준 부분순서집합 중 하나인 {0}, ωω, K(Q), 또는 [c]<ω 와 Tukey 동치임을 증명하기.
• AK(BX)에 대한 더 정교한 분류를 제공하여 기하학적 또는 위상수학적 성질이 더 강한 경우를 구분하기.
• ℓ₁을 포함하지 않는 공간에서 K(BX)와 AK(BX)가 Tukey 동치가 되는 조건을 규명하기.
• 분 析 결정성의 공리가 없을 경우 분류의 일致성과 관련된 열린 문제를 탐색하기.

제안 방법

• 약하게 컴팩트 가족을 나타내는 부분순서집합을 비교하기 위해 Tukey 감소를 사용하기.
• ε > 0에 대해 K ⊆ L + εBX 를 갖는 매개변수화된 관계를 지닌 AK(BX)를 도입하여 거리 정보를 통합하기.
• 코아날리틱 집합에 대한 Lusin 갭 이분법을 적용하여 ω 상의 복잡한 이상을 분석하고, 분석적 가족 I에 대해 I⊥의 분류를 이끌어내기.
• 분 析 결정성의 공리를 이용해 특정 균일한 부분구조의 존재를 보장하여 표준 유형으로의 분류를 가능하게 하기.
• Ramsey 이론적 접근과 트리 분석(예: 2<ω 내의 반사계 및 체인 분해)을 통해 집합 가족의 구조를 제어하기.
• MAℵ₁와 Lusin의 가설을 만족하는 모델에서, [ω₁]<ω 가 특정 기수 불변량 하에서 표준 부분순서집합과 Tukey 동치가 아니라는 반례를 구성하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분 析 결정성의 공리 하에서, 분리 가능 바나흐 공간에 대해 K(BX)의 가능한 Tukey 유형은 무엇인가?
• RQ2 AK(BX)에서 메트릭 기반 관계를 도입함으로써 K(BX)에 비해 약하게 컴팩트 집합의 분류가 어떻게 정교해지는가?
• RQ3 비반사 공간인 분리 가능 바나흐 공간이 존재할 수 있는지, 이에 대해 K(BX)가 {0}, ωω, K(Q), 또는 [c]<ω 중 어느 하나와도 Tukey 동치가 아니라는 것이 일관된가?
• RQ4 ℓ₁을 포함하지 않는 바나흐 공간에서 ZFC 내에서 K(BX)와 AK(BX)의 동치성을 확립할 수 있는가?
• RQ5 비-SWCG 공간에서 AK(BX)는 항상 ωω ⪯ AK(BX) 또는 AK(BX) ⪯ ω 를 만족하는가, 아니면 중간 유형이 존재하는가?

주요 결과

• 분 析 결정성의 공리 하에서, 단위공 BX 내의 약하게 컴팩트 부분집합의 격자 K(BX)는 네 가지 표준 부분순서집합 중 하나와 Tukey 동치이다: 단일원소 집합(반사 공간에 해당), ωω, K(Q), 또는 [c]<ω.
• 거리 기반 거의 포함 관계를 포함하는 AK(BX)는 다섯 가지 유형으로 정교한 분류를 받는다: {0}, ω, ωω, K(Q), [c]<ω이며, 이 중 ω는 강한 약하게 컴팩트 생성 공간에 해당한다.
• ℓ₁을 포함하지 않는 분리 가능 바나흐 공간에 대해서는 ZFC 내에서 K(BX)와 AK(BX)가 Tukey 동치이며, 각각 {0}, ωω, K(Q), 또는 [c]<ω 와 동치이다.
• MAℵ₁와 Lusin의 가설을 만족하는 모델에서, [ω₁]<ω 는 {0}, ω, ωω, K(Q), 또는 [c]<ω 와 Tukey 동치가 아니며, 이는 여부의 기수(ℵ₁ 대비 ℵ₀, d, 또는 c)가 다르기 때문이다.
• 정리 7.12의 구성은, 크기가 ℵ₁인 코아날리틱 집합의 존재를 가정할 경우, 비반사적이며, 무한기저를 갖는 분리 가능 바나흐 공간을 제공하며, 그 약하게 컴팩트 집합이 네 가지 표준 유형 중 어느 하나와도 동치가 아니라는 결과를 도출한다.
• 동일한 모델에서 X = ℓ₁(ω₁)에 대해 AK(BX)의 여부는 ω₁이며, cf(ωω) = d 이므로 ω₁ < d 이면 ωω ⪯ AK(BX) 가 성립하지 않으며, 이는 AK(BX)가 표준 유형을 벗어날 수 있음을 보여준다.