[논문 리뷰] Turán number of disjoint triangles in 4-partite graphs

Jie Han, Yi Zhao|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 05.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 6인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 충분히 큰 부분을 가진 4분할 그래프에서 $k$ 개의 정점이 분리된 삼각형에 대한 투란 수를 결정하며, 최대 간선 수가 분할 크기와 $k$에 따라 의존하는 함수 $g_k(n_1,n_2,n_3,n_4)$로 주어진다는 것을 증명한다. 결과는 두 개의 명시적 구성에 의해 달성되며, 점진적 및 표준 귀납법을 사용한 이전의 다분할 그래프에서의 투란 문제 연구를 확장한다.

ABSTRACT

Let $k\ge 2$ and $n_1\ge n_2\ge n_3\ge n_4$ be integers such that $n_4$ is sufficiently larger than $k$. We determine the maximum number of edges of a 4-partite graph with parts of sizes $n_1,\dots, n_4$ that does not contain $k$ vertex-disjoint triangles. For any $r> t\ge 3$, we give a conjecture on the maximum number of edges of an $r$-partite graph that does not contain $k$ vertex-disjoint cliques $K_t$.

연구 동기 및 목표

• 모든 부분 크기가 충분히 클 때 4분할 그래프에서 $k$ 개의 정점이 분리된 삼각형에 대한 투란 문제를 해결하기.
• 부분 크기가 $n_1 \geq n_2 \geq n_3 \geq n_4 \geq 6k^2$인 $kK_3$-자유 4분할 그래프에서의 최대 간선 수를 결정하기.
• 이전의 $kK_t$를 피하는 $r$-분할 그래프에 대한 결과를 확장하고 일반적인 $r > t \geq 3$에 대한 추측을 제시하기.
• 두 개의 극한 구성 $G_1$과 $G_2$를 통해 날카운 상한을 확립하고, 귀납법을 사용하여 최적성을 증명하기.

제안 방법

• 총 정점 수에 대한 점진적 귀납과 $k$에 대한 표준 귀납을 사용하며, 정리 1.1을 기저 사례로 삼는다.
• 표현식이 $n_1 \leq n_2 + n_3$인지 여부에 따라 달라지는 함수 $g_k(n_1,n_2,n_3,n_4)$를 정의한다.
• 풍부한 간선(높은 차수 합을 가진 간선)과 그 제거를 고려하여 간선 수와 삼각형-자유 조건을 분석한다.
• 정점 또는 간선을 제거한 후 부분 그래프에 대해 귀납을 적용하며, $kK_3$가 존재할 경우 귀납 가정에 모순이 생기도록 유도한다.
• 부분 크기 $|Z| = k-1$인 극한 구성 $G_1 = K_{V_1 \cup V_4, V_2 \cup V_3} \cup K_{Z, V_1}$과 $G_2 = K_{V_1, V_2 \cup V_3 \cup V_4} \cup K_{Z, V_2 \cup V_3}$를 사용하여 날카운 성질을 보여준다.
• 차수와 간선 수 부등식을 사용하여 $V_1$과의 삼각형이나 $V_1 \times (V_2 \cup V_3 \cup V_4)$ 내의 풍부한 간선을 포함하는 삼각형의 존재를 배제한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $n_i$가 충분히 클 때, 부분 크기가 $n_1 \geq n_2 \geq n_3 \geq n_4$인 $kK_3$-자유 4분할 그래프에서 최대 간선 수는 얼마인가요?
• RQ2 모든 $k \geq 1$에 대해 $\operatorname{ex}(K_{n_1,n_2,n_3,n_4}, kK_3)$의 극한 수를 정확히 기술할 수 있을까요?
• RQ3 두 구성 $G_1$과 $G_2$는 간선 수와 $kK_3$-자유성 측면에서 어떻게 비교될 수 있나요?
• RQ4 모든 큰 부분 크기에 대해 $g_k(n_1,n_2,n_3,n_4)$의 경계가 날카로운가요?
• RQ5 추측 1.4의 경계는 임의의 $r > t \geq 3$로 일반화될 수 있을까요?

주요 결과

• 모든 $n_4 \geq 6k^2$ 및 $n_1 + n_2 + n_3 + n_4 \geq N_0(k)$일 때, 투란 수 $\operatorname{ex}(K_{n_1,n_2,n_3,n_4}, kK_3)$는 $g_k(n_1,n_2,n_3,n_4)$로 상한이 주어진다.
• 경계 $g_k(n_1,n_2,n_3,n_4)$는 날카롭다. $G_1$과 $G_2$ 모두 이 간선 수를 달성하며 $kK_3$-자유이다.
• 구성 $G_1$은 $e(G_1) = (n_1 + n_4)(n_2 + n_3) + (k-1)n_1$을, $G_2$는 $e(G_2) = n_1(n_2 + n_3 + n_4) + (k-1)(n_2 + n_3)$를 달성한다.
• 만약 $n_1 \leq n_2 + n_3$이면 $G_1$이 최대값을, $n_1 > n_2 + n_3$이면 $G_2$가 최대값을 가지며, $n_1 = n_2 + n_3$일 때는 등호가 성립한다.
• 증명은 기저 사례가 없는 점진적 귀납을 사용하며, $k-1$개의 분리된 삼각형이 존재한다고 가정하고 풍부한 간선을 제거함으로써 모순을 이끌어낸다.
• $N_0(k)$는 $k$에 대해 이중 지수 함수이며, $k \geq 3$일 때 $N_0(k) \leq (2N_0(2))^{2^{k-2}}$를 만족한다. 이는 다항식 경계로 개선할 여지가 있음을 시사한다.