[논문 리뷰] Turaev-Viro invariants as an extended TQFT

Alexander Kirillov, Benjamin Balsam|arXiv (Cornell University)|2010. 04. 09.

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한 줄 요약

이 논문은 Turaev-Viro 불변량을 codimension 2의 모서리를 가진 3-다양체로 확장하여, 원에 $ Z(\mathcal{C}) $를 할당하고 $ Z(\mathcal{C}) $를 기반으로 한 Reshetikhin-Turaev TQFT와 일치하는 확장된 3-2-1 TQFT를 구성한다. 이는 구형 분할이 있는 n개의 구멍이 있는 구면에 대해 성립한다. 이는 구형 분할 카테고리 $ \mathcal{C} $에 대한 Turaev-Viro 불변량이 Drinfeld 중심 $ Z(\mathcal{C}) $를 기반으로 한 Reshetikhin-Turaev TQFT와 일치한다는 오랫동안 제기된 추측에 대한 부분적인 증명을 제공한다.

ABSTRACT

In this paper we show how one can extend Turaev-Viro invariants, defined for an arbitrary spherical fusion category $C$, to 3-manifolds with corners. We demonstrate that this gives an extended TQFT which conjecturally coincides with the Reshetikhin-Turaev TQFT corresponding to the Drinfeld center $Z(C)$. In the present paper we give a partial proof of this statement.

연구 동기 및 목표

• codimension-2 모서리를 가진 3-다양체로 Turaev-Viro 불변량을 확장하여 완전히 확장된 3-2-1 TQFT의 구조를 가능하게 한다.
• 확장된 이론이 1-구에 Drinfeld 중심 $ Z(\mathcal{C}) $를 할당함으로써 확장된 TQFT 공리계와 일관됨을 보여준다.
• n개의 구멍이 있는 구면에 대해, 확장된 Turaev-Viro 이론이 할당하는 벡터 공간이 $ Z(\mathcal{C}) $를 기반으로 한 Reshetikhin-Turaev 이론과 일치함을 보여준다.
• 구형 분할 카테고리 $ \mathcal{C} $에 대해 $ Z_{TV,\mathcal{C}}(M) = Z_{RT,Z(\mathcal{C})}(M) $임을 보여주는 추측에 대한 부분적인 증명을 제공한다.

제안 방법

• 프레임된 트레이스를 가진 삼각분할 3-다양체 위에서 상태합 모델을 사용하여 Turaev-Viro 불변량으로부터 3-2-1 확장 TQFT를 구성한다.
• 상태합 진폭을 표현하기 위해 순환적으로 불변인 함자 $ \langle V_1, \dots, V_n \rangle = \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(\mathbf{1}, V_1 \otimes \cdots \otimes V_n) $를 정의한다.
• 피vakal 구조와 자연 동형사를 사용하여 텐서 인자들의 순환 순열에 대해 불변성을 확보한다.
• 모듈라 불변성과 일관성을 확보하기 위해 정규화 인자 $ \mathcal{D} = \sqrt{\sum_{x \in \operatorname{Irr}(\mathcal{C})} d_X^2} $를 도입한다.
• 카테고리 $ \mathcal{C} $의 평가 및 공평가 사상에 의해 조합 사상 $ \varphi \otimes \psi \mapsto \varphi \underset{X}{\circ} \psi $를 수립한다.
• 확장된 이론이 $ S^1 $에서 Drinfeld 중심 $ Z(\mathcal{C}) $를 얻으며, 경계 레이블이 $ Z(\mathcal{C}) $에 속한다는 것을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Turaev-Viro 불변량의 구성은 codimension-2 모서리를 가진 3-다양체로 확장되어 완전히 확장된 3-2-1 TQFT를 형성하는가?
• RQ2 확장된 Turaev-Viro TQFT는 Drinfeld 중심 $ Z(\mathcal{C}) $를 기반으로 한 Reshetikhin-Turaev TQFT와 동형인가?
• RQ3 확장된 TQFT는 확장된 TQFT 공리계에서 요구하는 바와 같이 1-구에 $ Z(\mathcal{C}) $를 할당하는가?
• RQ4 n개의 구멍이 있는 구면에 대해, 확장된 Turaev-Viro 이론과 Reshetikhin-Turaev 이론이 할당하는 벡터 공간은 일치하는가?

주요 결과

• 확장된 Turaev-Viro TQFT는 1-구에 Drinfeld 중심 $ Z(\mathcal{C}) $를 할당하여, 확장된 TQFT의 기대와 일치함을 확인한다.
• n개의 구멍이 있는 구면에 대해, 확장된 Turaev-Viro 이론이 할당하는 벡터 공간은 $ Z(\mathcal{C}) $를 기반으로 한 Reshetikhin-Turaev 이론과 정확히 일치한다.
• 확장된 이론은 프레임된 트레이스를 가진 삼각분할 3-다양체 위에서 순환 불변량과 $ \mathcal{D} $를 통한 정규화를 사용하는 상태합 모델을 통해 구성된다.
• 조합 사상 $ \varphi \underset{X}{\circ} \psi $는 잘 정의되어 있으며 카테고리 $ \mathcal{C} $의 구조를 유지하여 불변성을 보장한다.
• 이 구성은 $ Z_{TV,\mathcal{C}}(M) = Z_{RT,Z(\mathcal{C})}(M) $임을 보여주는 추측에 대한 부분적인 증명을 제공하며, 향후 작업에서 완전한 증명이 기대된다.
• 정규화 인자 $ \mathcal{D} $는 Etingof–Nikshych–Ostrik의 결과에 의해 0이 아니며, 이는 이론이 잘 정의되어 있음을 보장한다.