[논문 리뷰] Turaev-Viro invariants, colored Jones polynomials and volume

Renaud Detcherry, Effstratia Kalfagianni외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 26.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 28인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $S^3$ 내의 링크 보존의 Turaev-Viro 불변량과 그 색다래진 재스 다항식의 제곱 절댓값 사이의 공식을 수립하여, 도넛 모양의 링크와 보로메언 링크에 대해 체인-양 부피 추측의 첫 번째 엄밀한 검증을 가능하게 한다. 또한 Turaev-Viro 불변량의 큰-$r$ 점근적 행동이 하이퍼볼릭 부피를 결정하고, 기존의 추측으로 예측되지 않은 새로운 점근적 행동을 드러낸다.

ABSTRACT

We obtain a formula for the Turaev-Viro invariants of a link complement in terms of values of the colored Jones polynomial of the link. As an application we give the first examples for which the volume conjecture of Chen and the third named author\,\cite{Chen-Yang} is verified. Namely, we show that the asymptotics of the Turaev-Viro invariants of the Figure-eight knot and the Borromean rings complement determine the corresponding hyperbolic volumes. Our calculations also exhibit new phenomena of asymptotic behavior of values of the colored Jones polynomials that seem not to be predicted by neither the Kashaev-Murakami-Murakami volume conjecture and various of its generalizations nor by Zagier's quantum modularity conjecture. We conjecture that the asymptotics of the Turaev-Viro invariants of any link complement determine the simplicial volume of the link, and verify it for all knots with zero simplicial volume. Finally we observe that our simplicial volume conjecture is stable under connect sum and split unions of links.

연구 동기 및 목표

• 링크 보존의 Turaev-Viro 불변량과 색다래진 재스 다항식의 값 사이의 정확한 공식을 수립하기.
• 특정 하이퍼볼릭 3-다양체, 즉 도넛 모양의 링크와 보로메언 링크 보존에 대해 체인-양 부피 추측을 검증하기.
• 기존의 양자 모듈라리티나 부피 추측으로 설명되지 않는 새로운 점근적 행동을 보이는 색다래진 재스 다항식을 조사하기.
• Turaev-Viro 불변량의 큰-$r$ 점근적 행동이 링크 보존의 단순 복체 부피를 결정한다는 추측을 제안하고 검증하기.
• 단순 복체 부피 추측이 연결 합과 분리된 합과 같은 위상적 연산과 호환되는지 검토하기.

제안 방법

• 모든 다중지표 $\mathbf{i}$ 에 대해 $|J_{L,\mathbf{i}}(t)|^2$ 의 가중합으로 $TV_r(S^3 \setminus L, q)$ 를 표현하는 공식 유도. 계수는 $r$ 에 따라 $\eta_r^2$ 또는 $2^{n-1} (\eta_r')^2$ 로 달라진다.
• Turaev-Viro 불변량과 $SO(3)$ Reshetikhin-Turaev TQFT 사이의 관계를 이용하여, 벤데티와 페트로니오의 결과를 홀수 $r$ 과 $2r$-번째 단위근으로 확장한다.
• 블랑셰, 하베거, 마스바움, 바벨의 $SO(3)$ TQFT 성질을 활용하여 상태합 불변량을 링크 보존의 양자 불변량과 연결한다.
• 일致성을 확보하기 위해 $t = A^4$, $q = A^2$ 라는 정규화 관계를 사용하며, $A$ 는 $4r$-번째 또는 $2r$-번째 원주율 근이다.
• 불변량의 점근적 행동을 $r \to \infty$ 일 때 분석하여 성장률이 하이퍼볼릭 부피나 단순 복체 부피와 같은 기하학적 불변량과 연결됨을 밝힘.
• 단순 복체 부피가 0인 링크에 대해 추측을 검증하고, 위상적 불변성에 의해 연결 합과 분리된 합에 대해 호환성 테스트를 수행함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 링크 보존의 Turaev-Viro 불변량은 색다래진 재스 다항식으로 표현될 수 있는가?
• RQ2 Turaev-Viro 불변량의 큰-$r$ 점근적 행동은 링크 보존의 하이퍼볼릭 부피를 복원하는가?
• RQ3 Kashaev-Murakami-Murakami 또는 자지에르의 추측으로 설명되지 않는 새로운 점근적 행동이 색다래진 재스 다항식에 존재하는가?
• RQ4 Turaev-Viro 불변량의 점근적 행동은 3-다양체의 단순 복체 부피를 결정하는가?
• RQ5 단순 복체 부피 추측은 연결 합과 분리된 합과 같은 위상적 연산과 호환되는가?

주요 결과

• 논문은 다음과 같은 폐쇄형 공식을 제공한다: 짝수 $r$ 에 대해 $TV_r(S^3 \setminus L, q) = \eta_r^2 \sum_{1 \leq \mathbf{i} \leq r-1} |J_{L,\mathbf{i}}(t)|^2$, 홀수 $r$ 에 대해 $2^{n-1} (\eta_r')^2 \sum_{1 \leq \mathbf{i} \leq (r-1)/2} |J_{L,\mathbf{i}}(t)|^2$.
• 체인-양 부피 추측은 도넛 모양의 링크와 보로메언 링크 보존에 대해 엄밀히 검증되었으며, 그 큰-$r$ Turaev-Viro 불변량이 하이퍼볼릭 부피를 점근적으로 복원함을 보였다.
• Kashaev-Murakami-Murakami 부피 추측이나 자지에르의 양자 모듈라리티 추측으로 설명되지 않는 새로운 점근적 행동이 색다래진 재스 다항식에서 관찰됨.
• 단순 복체 부피 추측을 제안함: $TV_r$ 의 큰-$r$ 점근적 행동이 링크 보존의 단순 복체 부피를 결정하며, 단순 복체 부피가 0인 모든 링크에 대해 검증됨.
• 추측은 연결 합과 분리된 합에 대해 호환됨을 입증하였으며, 이는 이러한 연산에 대해 불변량이 일관되게 변환됨을 의미함.
• 모든 $r \geq 3$ 에 대해 $TV_r(S^3 \setminus L, q)$ 는 양수임이 입증되었으며, 하한 $H_r = \eta_r^2$ 또는 $2^{n-1} (\eta_r')^2 > 0$ 으로 확인됨.