[논문 리뷰] Turbulence Modeling via the Fractional Laplacian

Brenden P. Epps, Benoı̂t Cushman-Roisin|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 14.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 29인용 수 25

한 줄 요약

이 논문은 봄스트림 운동론 이론과 레비 α-안정 분포를 사용하여 비점성 항을 비국소적인 분수 라플라시안으로 대체함으로써, 분수 라플라시안을 첫 번째 원리 기반 난류 모델로 유도한다. 이는 난류 유동에서 장거리 운동량 이동을 캡처하기 위해 나비에-스토크스 방정식의 표준 점성 항을 비국소적 분수 라플라시안으로 대체한다. 모델은 α=1일 때 벽면의 로그 법칙을 복원하며, 기존의 난류 점성계수 모델에 물리적으로 타당한 대안을 제공한다.

ABSTRACT

Herein, we derive the fractional Laplacian operator as a means to represent the mean friction force arising in a turbulent flow: $ ρ\frac{D\bar{\bf u}}{Dt} = - abla p + μ_α abla^2\bar{\bf u} + ρC_α\iiint_{\!-\infty}^\infty \frac{ \bar{\bf u}{\scriptstyle(t,{\bf x}')} - \bar{\bf u}{\scriptstyle(t,{\bf x})} }{|{\bf x}'-{\bf x}|^{α+3}} \,d{\bf x}' $, where $\bar{\bf u}{\scriptstyle(t,{\bf x})}$ is the ensemble-averaged velocity field, $μ_α$ is an enhanced molecular viscosity, and $C_α$ is a turbulent mixing coefficient (with units (length)$^α$/(time)). The derivation is grounded in Boltzmann kinetic theory, which presumes an equilibrium probability distribution $f_α^{eq}(t,{\bf x},{\bf u})$ of particle speeds. While historically $f_α^{eq}$ has been assumed to be the Maxwell-Boltzmann distribution, we show that any member of the family of Lévy $α$-stable distributions is a suitable alternative. If $α=2$, then $f^{eq}_α$ is the Maxwell-Boltzmann distribution, with large particle speeds very unlikely, and the Navier-Stokes equations are recovered (with $μ_α= μ$ and $C_α= 0$). If $0 < α< 2$, then $f^{eq}_α$ is a Lévy $α$-stable distribution, with "heavy tails" that permit large velocity fluctuations, as in turbulence. For shear turbulent flows, the choice of $α= 1$ (Cauchy distribution for $f_α^{eq}$) leads to the logarithmic velocity profile known as the Law of the Wall. We also present examples of 1D Couette flow and 2D boundary layer flow, and we discuss turbulent transport within this kinetic theory framework. This work lays out a new framework for turbulence modeling that may lead to new fundamental understanding of turbulent flows.

연구 동기 및 목표

• 수반된 폐쇄 없이 첫 번째 원리 기반 비국소 난류 모델을 개발하기 위해.
• 나비에-스토크스 방정식의 점성 항을 운동론 이론에서 유도된 분수 라플라시안으로 대체하기 위해.
• 레비 α-안정 분포가 무거운 尾를 가지는 난류 속도 변동을 자연스럽게 기술함을 보여주기 위해.
• α=1일 때 난류 속도 프로파일(벽면 법칙)을 재현할 수 있음을 보여주기 위해.
• 비국소적 장거리 상호작용을 사용한 난류 운반 프레임워크를 구축하기 위해.

제안 방법

• 낮은 쿤드센 수, 비압축성 및 동온 조건 하에서 봄스트림 운동론 방정식으로부터 분수 라플라시안 연산자를 유도한다.
• 입자 속도의 평형 확률 분포로 레비 α-안정 분포를 사용하며, α∈(0,2)로 무거운 尾를 가지는 변동을 가능하게 한다.
• 분수 라플라시안의 특이 적분 형태를 적용한다: $\mathcal{L}_{n}u(\mathbf{x}) = L_{\alpha,n} \text{P.V.} \int_{\mathbb{R}^n} \frac{\bar{u}(\mathbf{x}') - \bar{u}(\mathbf{x})}{|\mathbf{x}' - \mathbf{x}|^{\alpha+n}} d\mathbf{x}'$.
• 정규화 상수 $L_{\alpha,n} = \frac{2^\alpha \Gamma((\alpha+n)/2)}{\pi^{n/2} |\Gamma(-\alpha/2)|}$를 유도하며, 이는 레비 분포의 꼬리 행동과 연결된다.
• 1차원 코우에트 유동과 2차원 경계층 흐름에 모델을 적용하여 기존의 난류 프로파일과의 일관성을 보였다.
• 적은 수의 공간 차원에 의존하는 변수를 통합함으로써 분수 라플라시안이 낮은 차원의 부분공간으로 감소함을 보였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 운동론 이론에서 분수 라플라시안을 난류 마찰의 표현으로 유도할 수 있는가?
• RQ2 평형 입자 속도에 대해 레비 α-안정 분포를 사용할 경우 일관된 난류 모델을 도출할 수 있는가?
• RQ3 모델이 비틀림 흐름에서 로그 속도 프로파일(벽면 법칙)을 재현할 수 있는가?
• RQ4 분수 라플라시안의 비국소성은 국소적 난류 점성계수 모델에 비해 난류 운동량 이동을 얼마나 잘 캡처하는가?
• RQ5 다중 척도 흐름에서 차원 감소 시 분수 라플라시안의 수학적 및 물리적 일관성은 어떠한가?

주요 결과

• 레비 α-안정 평형 분포를 입자 속도에 가정할 경우, 분수 라플라시안이 봄스트림 운동론 이론에서 자연스럽게 유도된다.
• α=2일 경우 모델은 표준 점성과 난류 계수 0을 가지는 고전적 나비에-스토크스 방정식으로 축소된다.
• α=1일 경우 모델은 벽에 둘러싸인 비틀림 흐름에서 로그 속도 프로파일을 재현하며, 이는 벽면 법칙에 해당한다.
• 분수 라플라시안은 장거리 상호작용을 통해 비국소적 운동량 이동을 캡처하며, 비정상 확산과 레비 산책과 일관된다.
• 분수 라플라시안의 정규화 상수 $L_{\alpha,n}$은 레비 α-안정 분포의 꼬리 파rameter와 일치하여 일관성을 확보한다.
• 속도장이 적은 수의 공간 변수에 의존할 경우, 분수 라플라시안이 차원에 일관되게 감소함을 모델이 허용한다.