[논문 리뷰] Turbulent flows as generalized Kelvin-Voigt materials: modeling and analysis

Chérif Amrouche, Luigi C. Berselli외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 22.

Fluid Dynamics and Turbulent Flows참고 문헌 29인용 수 27

한 줄 요약

이 논문은 Prandtl 혼합 길이 ℓ(x)가 공간에 따라 변하고 벽에서 0이 되는 일반화된 켈빈-보이트 점탄성 재료로 간주함으로써 3D 비압축성 난류 유동에 대한 새로운 모델링 프레임워크를 제안한다. 모델은 정규화 항 −α∇·(ℓ(x)Dvₜ)을 도입하여 정규성을 향상시키며, 이는 레이놀즈 평균 나비에-스토크스-난류 운동에너지(RANS-TKE) 시스템에 대해 제곱형 소스 항이 있는 경우에도 존재성 및 유일성의 엄밀한 증명을 가능하게 한다. 이는 절단 및 컴팩턴스 추론을 통해 달성된다.

ABSTRACT

We model a 3D turbulent fluid, evolving toward a statistical equilibrium, by adding to the equations for the mean field $(v, p)$ a term like $-\\alpha \ abla\\cdot(\\ell(x) D v_t)$. This is of the Kelvin-Voigt form, where the Prandtl mixing length $\\ell$ is not constant and vanishes at the solid walls. We get estimates for velocity $v$ in $L^\\infty_t H^1_x \\cap W^{1,2}_t H^{1/2}_x$, that allow us to prove the existence and uniqueness of a regular-weak solutions $(v, p)$ to the resulting system, for a given fixed eddy viscosity. We then prove a structural compactness result that highlights the robustness of the model. This allows us to pass to the limit in the quadratic source term in the equation for the turbulent kinetic energy $k$, which yields the existence of a weak solution to the corresponding Reynolds Averaged Navier-Stokes system satisfied by $(v, p, k)$.

연구 동기 및 목표

• 공간에 따라 변하는 Prandtl 혼합 길이 ℓ(x)를 포함한 일반화된 켈빈-보이트 점탄성 프레임워크를 확장하여 3D 비압축성 난류 유동에 대해 수학적으로 엄밀한 모델을 개발하는 것.
• 편류 점성계수 ν_turb(ℓ(x))를 갖는 결과적인 레이놀즈 평균 나비에-스토크스 시스템에 대해 정규-약한 해의 존재성 및 유일성을 확립하는 것.
• 난류 운동에너지(TKE) 방정식에서 제곱형 소스 항 ν_turb(k)|Dv|²이 사전에 L¹(Q_T)에만 속한다는 점에서 발생하는 도전 과제를 다루는 것.
• 절단 기반 정규화와 컴팩턴스 추론을 도입하여 전체 NSTKE 시스템에 대한 약한 해의 존재성을 증명하는 것.

제안 방법

• 경계에서 0이 되는 C¹ 함수인 ℓ(x)를 사용하여 평균 운동량 방정식에 일반화된 켈빈-보이트 항 −α∇·(ℓ(x)Dvₜ)을 도입한다.
• 에너지 부등식과 TKE 방정식을 이용하여 레이놀즈 응력에 대한 구성 법칙을 유도한다: σᴿ = −αℓDvₜ − ν_turbDv + (2/3)k Id.
• 제곱형 소스 항 ν_turb(k)|Dv|² 과 초기 자료의 적분 가능성을 확보하고 고정점 반복을 가능하게 하기 위해 절단 절차 Tₙ을 적용한다.
• Leray-Schauder 고정점 정리를 사용하여 정규화된 시스템을 반복적으로 해결하며, 초기 조건으로 k⁰ ≡ 0을 사용한다.
• 컴팩턴스와 균일한 유계성에 기반하여 kⁿ이 L^q(0,T;W₀^{1,q})에서 약수렴하고 Q_T에서 거의 모든 곳에서 수렴함을 확립한다.
• 레마 5.1을 활용하여 제곱형 소스 항에서 극한을 취함을 보이며, 측도의 의미에서 수렴함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 공간에 따라 변하는 혼합 길이 ℓ(x)를 가진 일반화된 켈빈-보이트 모델이 통계적 평형을 향해 난류 유동을 수학적으로 타당한 프레임워크로 제공할 수 있는가?
• RQ2 편류 점성계수 ν_turb(k)가 난류 운동에너지 k에 의존할 경우, RANS 시스템에 대해 정규-약한 해의 존재성 및 유일성을 어떻게 증명할 수 있는가?
• RQ3 TKE 방정식에서 제곱형 소스 항 ν_turb(k)|Dv|²이 사전에 L¹(Q_T)에만 속한다는 점에서 발생하는 적분 가능성 문제를 해결하기 위한 수학적 기법은 무엇인가?
• RQ4 절단된 반복적 체계에서 극한을 취하여 전체 NSTKE 시스템에 대한 약한 해를 복원할 수 있는가?
• RQ5 모델의 구조적 컴팩턴스는 최소한의 정규성 가정 하에 비선형 항의 수렴을 보장할 수 있는가?

주요 결과

• 물리적으로 타당한 정규화 항 −α∇·(ℓ(x)Dvₜ)이 도입되어 속도의 정규성을 향상시키며, 이는 L∞ₜH¹ₓ ∩ W¹,²ₜH¹/²ₓ에 속하는 해를 도출한다.
• ℓ(x) ∈ C¹(Ω̅) 이고 경계에서 0이 되는 조건 하에, 고정된 편류 점성계수 ν_turb를 갖는 RANS 시스템에 대해 정규-약한 해 (v,p)의 존재성 및 유일성이 증명된다.
• 제곱형 소스 항 ν_turb(k)|Dv|²은 절단 Tₙ을 통해 다루어지며, 이는 반복적 체계에서 극한을 취할 수 있도록 컴팩턴스 추론을 가능하게 한다.
• kⁿ이 모든 1 ≤ q < 5/4에 대해 L^q(0,T;W₀^{1,q})에서 약수렴하고 Q_T에서 거의 모든 곳에서 수렴함을 확립하여 TKE 방정식에 대한 약한 해의 존재를 보장한다.
• 절단된 소스 항 Tₙ(ν_turb(kⁿ)|Dvⁿ|²)의 극한이 측도의 의미에서 ν_turb(k)|Dv|²로 수렴함을 보이며, 전체 NSTKE 시스템의 복원이 가능하다.
• 모델의 구조적 컴팩턴스는 강건성을 보장하여 클로처 가정 없이 극한을 취할 수 있으며, 해는 에너지 부등식을 만족한다.