[논문 리뷰] Turing jumps through provability

Joost J. Joosten|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 21.

Computability, Logic, AI Algorithms참고 문헌 5인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 프리드먼-골드바르브-하링턴(Friedman-Goldfarb-Harrington, FGH) 정리를 일반화하여, $[n]^{\boxplus}_{T}$로 표기되는 재귀적으로 정의된 증명 가능성 예측자 계층을 도입한다. 이는 $\Sigma_{n+1}$-정의 가능성과 따라서 $n$번째 튜링 점프를 '구문 최소화'한 특성화를 제공한다. 핵심 결과는 이러한 예측자가 다중모달 증명 가능성 논리 ${\mathsf{GLP}}_{\omega}$의 타당한 해석을 이룬다는 것이다. 이는 FGH 정리를 $\Sigma_1$ 수준을 초월해 산술 계층의 더 높은 수준으로 확장한다.

ABSTRACT

Fixing some computably enumerable theory $T$, the Friedman-Goldfarb-Harrington (FGH) theorem says that over elementary arithmetic, each $Σ_1$ formula is equivalent to some formula of the form $\Box_T φ$ provided that $T$ is consistent. In this paper we give various generalizations of the FGH theorem. In particular, for $n>1$ we relate $Σ_{n}$ formulas to provability statements $[n]_T^{\sf True}φ$ which are a formalization of "provable in $T$ together with all true $Σ_{n+1}$ sentences". As a corollary we conclude that each $[n]_T^{\sf True}$ is $Σ_{n+1}$-complete. This observation yields us to consider a recursively defined hierarchy of provability predicates $[n+1]^\Box_T$ which look a lot like $[n+1]_T^{\sf True}$ except that where $[n+1]_T^{\sf True}$ calls upon the oracle of all true $Σ_{n+2}$ sentences, the $[n+1]^\Box_T$ recursively calls upon the oracle of all true sentences of the form $\langle n angle_T^\Boxϕ$. As such we obtain a `syntax-light' characterization of $Σ_{n+1}$ definability whence of Turing jumps which is readily extended beyond the finite. Moreover, we observe that the corresponding provability predicates $[n+1]_T^\Box$ are well behaved in that together they provide a sound interpretation of the polymodal provability logic ${\sf GLP}_ω$.

연구 동기 및 목표

• 산술 계층의 $\Sigma_1$ 공식에서 더 높은 수준으로 FGH 정리를 확장하는 것.
• $[n]^\Box_T$ 증명 가능성 예측자를 사용하여 $\Sigma_{n+1}$-정의 가능성과 $n$번째 튜링 점프의 문맥적 특성화를 제공하는 것.
• $[n]^{\sf True}_T$ 예측자와 유사한 행동을 보이는 재귀적으로 구성된 증명 가능성 개념 계층 $[n]^\Box_T$를 정의하는 것.
• ${\mathsf{GLP}}_{\omega}$의 다중모달 논리에 대해 $[n]^\Box_T$ 예측자가 타당한 해석을 제공함을 보이는 것.

제안 방법

• $[n]^\Box_T\varphi$를 $\langle n\rangle^\Box_T\varphi$의 반복 적용에 기반한 재귀적으로 정의된 증명 가능성 예측자로 도입하며, 이는 $T$에서의 증명과 함께 형태 $\langle n\rangle^\Box_T\psi$를 가진 모든 참 문장의 형식을 포괄한다.
• $[n]^\Box_T$가 $\Sigma_{n+2}$ 진리의 오라클을 대체하는 $\langle n\rangle^\Box_T$-형식의 공식에 대한 재귀적 오라클을 사용하여 $[n]^{\sf True}_T$를 모방하는 계층을 구축한다.
• FGH 정리의 일반화를 통해 $[n]^\Box_T$가 $\Sigma_{n+1}$-완전하다는 것을 증명한다.
• $[n]^\Box_T$가 ${\mathsf{GLP}}_{\omega}$의 공리, 특히 $[n]A \to [n+1]A$ 및 $\langle n\rangle A \to [n+1]\langle n\rangle A$를 만족함을 기초로 한 수학적 귀납법과 형식화된 FGH 추론을 사용하여 보여준다.
• 형식화된 증명 가능성 논리와 $T$ 및 $\mathrm{EA}$의 타당성을 이용하여, 표준 모델에서 $[n]^\Box_T$와 $[n]^{\sf True}_T$ 사이의 동치성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 FGH 정리는 산술 계층의 $\Sigma_1$ 수준을 초월해 더 높은 수준으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 $\Sigma_{n+1}$-정의 가능성에 대해 구문 최소화된 특성화가 존재하는가? 이는 $n$번째 튜링 점프를 포괄한다.
• RQ3 재귀적으로 정의된 증명 가능성 예측자 계층 $[n]^\Box_T$를 구성할 수 있는가? 이는 $[n]^{\sf True}_T$의 행동을 모방한다.
• RQ4 $[n]^\Box_T$ 예측자가 다중모달 논리 ${\mathsf{GLP}}_{\omega}$에 대해 타당한 해석을 제공하는가?

주요 결과

• $[n]^\Box_T$ 증명 가능성 예측자는 $\Sigma_{n+1}$-완전하다. 즉, 모든 $\Sigma_{n+1}$ 공식은 어떤 $\varphi$에 대해 $[n]^\Box_T\varphi$와 동치이다.
• $\mathrm{EA}$에서 모든 $n$에 대해 $[n]^\Box_T\varphi \to [n]^{\sf True}_T\varphi$가 증명 가능하다. 이는 $[n]^\Box_T$가 $[n]^{\sf True}_T$의 보존적 강화임을 보여준다.
• $\langle n\rangle^{\sf True}_T\top$의 가정 하에 $\mathrm{PA}$에서 $[n+1]^\Box_T$와 $[n+1]^{\sf True}_T$는 동치이다.
• $[n]^\Box_T$ 예측자는 ${\mathsf{GLP}}_{\omega}$의 공리들을 만족하며, 이는 $\mathrm{PA}$에서 논리의 타당한 해석을 제공한다.
• $[n]^\Box_T$ 계층은 논리합과 논리곱에 대해 닫혀 있으며, 이는 $([n]^\Box_T\varphi \vee [n]^\Box_T\psi) \leftrightarrow [n]^\Box_T\sigma$를 만족하는 어떤 $\sigma$가 존재함으로써 형식화된다.