[논문 리뷰] Turning Gate Synthesis Errors into Incoherent Errors

M. B. Hastings|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 03.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 다수의 근사 유니터리에 대한 평균을 취하여 양자 게이트 합성에서의 일관된 오차를 비일관된 오차로 전환하는 방법을 제안한다. 이로 인해 고장내성 양자 계산의 효율성을 높이기 위해 필요한 게이트 오차는 $\epsilon \lesssim 1/N$ 에서 $\epsilon \lesssim 1/\sqrt{N}$ 으로 감소된다. 이 방법은 게이트 선택 또는 보조 큐비트 상태에 대한 랜덤화를 활용하여 오차 누적을 억제한다.

ABSTRACT

Using error correcting codes and fault tolerant techniques, it is possible, at least in theory, to produce logical qubits with significantly lower error rates than the underlying physical qubits. Suppose, however, that the gates that act on these logical qubits are only approximation of the desired gate. This can arise, for example, in synthesizing a single qubit unitary from a set of Clifford and $T$ gates; for a generic such unitary, any finite sequence of gates only approximates the desired target. In this case, errors in the gate can add coherently so that, roughly, the error $ε$ in the unitary of each gate must scale as $ε\lesssim 1/N$, where $N$ is the number of gates. If, however, one has the option of synthesizing one of several unitaries near the desired target, and if an average of these options is closer to the target, we give some elementary bounds showing cases in which the errors can be made to add incoherently by averaging over random choices, so that, roughly, one needs $ε\lesssim 1/\sqrt{N}$. We remark on one particular application to distilling magic states where this effect happens automatically in the usual circuits.

연구 동기 및 목표

• 양자 게이트 합성에서 T 및 클리포드 게이트의 작은 유니터리 오차가 회로 깊이에 따라 선형적으로 누적되는 일관된 오차 누적 문제를 다루기 위해.
• 다수의 근사 유니터리에 대한 평균을 활용하여 개별 게이트의 정확도 요구 조건을 낮추고 비일관된 오차 스케일링을 달성하기 위해.
• 게이트 구현 또는 보조 큐비트 상태에 대한 랜덤화가 체계적 오차를 억제하고 전체 회로의 정밀도를 향상시키는 방식을 보여주기 위해.
• 랜덤화된 게이트 합성에 대한 다이아몬드 노름 오차에 대한 이론적 경계를 제공하여 일관된 오차 누적보다 향상된 스케일링을 입증하기 위해.
• 측정 결과에서 자연스럽게 발생하는 랜덤성으로 인해 마법 상태 정제 및 게이트 합성과 같은 분야에서 실용적 적용 가능성을 보여주기 위해.

제안 방법

• 목표 게이트 $U_i$에 가까운 후보 집합 $W_{i,j}$ 에서 근사 유니터리 $V_i$ 를 랜덤 선택하여 체계적 오차를 평균화한다.
• 게이트 불완전성으로 인한 최종 양자 상태의 오차를 추정하기 위해 트레이스 노름 및 다이아몬드 노름 분석을 적용한다.
• 랜덤화된 보조 큐비트 상태를 사용한 상태 주입을 나타내는 양자 채널 $\mathcal{G}$ 를 도입하고, 이상적인 $T$-게이트 채널 $\mathcal{E}$ 에서의 편차가 각도 오차에 대해 이차항임을 보여준다.
• 편차의 경계를 유도하여 $\|\mathcal{E} - \mathcal{G}\|_\diamond \lesssim \mu_2 + \mathcal{O}(\mu_4)$ 를 도출하며, 여기서 $\mu_2$ 는 $\pi/8$ 에서의 각도 편차의 분산을 의미한다. 이는 이차 오차 스케일링을 보여준다.
• 잔류 오차를 추가로 억제하기 위해 서로 다른 랜덤 선택의 게이트 또는 보조 큐비트를 사용하여 알고리즘을 반복한다.
• 측정 결과에 의한 랜덤성으로 인해 발생하는 상태 주입 프로토콜에서의 영향을 분석하여, 다양한 게이트 각도에 대한 자연스러운 평균화가 일어남을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다수의 근사 유니터리에 대한 평균을 취하는 것으로 양자 게이트 합성에서의 일관된 오차 누적이 완화될 수 있는가?
• RQ2 N개의 게이트로 이루어진 시퀀스에서 오차가 일관되게 누적될 때와 비일관되게 누적될 때 필요한 게이트 오차 정밀도의 스케일링은 어떻게 되는가?
• RQ3 게이트 구현 또는 보조 큐비트 상태에 대한 랜덤화가 양자 회로의 전체 다이아몬드 노름 오차에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 측정 랜덤성으로 인해 자연스럽게 게이트 오차가 평균화되는 설정—예를 들어 마법 상태 정제—에서는 어떤 경우가 있는가?
• RQ5 게이트 각도 또는 보조 큐비트 상태의 미세한 편차가 존재하는 상황에서 이차 오차 스케일링을 엄밀하게 경계할 수 있는가?

주요 결과

• 게이트 합성에서 일관된 오차 누적이 발생할 경우 총 오차를 작게 유지하기 위해 게이트 오차는 $\epsilon \lesssim 1/N$ 으로 스케일링되어야 한다.
• 다양한 근사 유니터리에 대한 랜덤 선택을 통한 평균화로 인해 오차 스케일링이 $\epsilon \lesssim 1/\sqrt{N}$ 으로 향상되어 더 낮은 게이트 정밀도 요구 조건을 달성할 수 있다.
• 최종 회로의 다이아몬드 노름 오차는 $S \mu_2 + S \cdot \mathcal{O}(\mu_4)$ 로 경계되며, 여기서 $\mu_2$ 는 $\pi/8$ 에서의 각도 편차의 분산을 의미한다. 이는 오차에 대해 이차적 의존성을 보여준다.
• 상태 주입 프로토콜에서는 랜덤 측정 결과가 자연스럽게 다양한 게이트 각도에 대한 평균을 만들어내어 체계적 오차를 비일관된 것으로 전환한다.
• 실제 채널 $\mathcal{G}$ 와 이상적인 $T$-게이트 채널 $\mathcal{E}$ 간의 편차는 $\theta - \pi/4$ 와 $\tau - \pi/4$ 에 대해 이차항이며, 이는 비일관된 스케일링을 확인한다.
• 게이트 또는 보조 큐비트의 독립적인 랜덤 선택을 반복함으로써 단일 실행의 평균화로는 달성할 수 없는 잔류 오차를 억제할 수 있다.