[논문 리뷰] Turnpike Properties in Optimal Control: An Overview of Discrete-Time and Continuous-Time Results

Timm Faulwasser, Lars Grüne|arXiv (Cornell University)|2020. 11. 27.

Advanced Control Systems Optimization참고 문헌 75인용 수 26

한 줄 요약

이 논문은 유한 및 무한 시간 영역을 포함한 이산시간 및 연속시간 시스템에서 최적 제어의 전도성 성질에 대한 종합적인 개요를 제공한다. 전도성 현상, 소산성 이론, 안정성 간의 연결 고리를 설정함으로써 장수명 최적 제어 문제의 효율적 수치적 해법을 가능하게 하며, 안정 상태 근처 수렴을 통해 구현되며, PDE 제약 문제를 포함한 수치 예제를 통해 주요 결과가 검증된다.

ABSTRACT

The turnpike property refers to the phenomenon that in many optimal control problems, the solutions for different initial conditions and varying horizons approach a neighborhood of a specific steady state, then stay in this neighborhood for the major part of the time horizon, until they may finally depart. While early observations of the phenomenon can be traced back to works of Ramsey and von Neumann on problems in economics in 1928 and 1938, the turnpike property received continuous interest in economics since the 1960s and recent interest in systems and control. The present chapter provides an introductory overview of discrete-time and continuous-time results in finite and infinite-dimensions. We comment on dissipativity-based approaches and infinite-horizon results, which enable the exploitation of turnpike properties for the numerical solution of problems with long and infinite horizons. After drawing upon numerical examples, the chapter concludes with an outlook on time-varying, discounted, and open problems.

연구 동기 및 목표

• 이산시간 및 연속시간 설정에서 최적 제어의 전도성 성질에 대한 통합적 개요 제공.
• 무한 시간 영역 최적 제어 문제에서 전도성 현상과 소산성 기반 분석 및 안정성 이론 간의 연결.
• 모델 예측 제어(MPC) 및 PDE 제약 문제에서 특히 유용한 전도성 성질의 수치적 해법 전략에 대한 유용성 입증.
• 시간 변화형, 할인율 적용, 제약 조건, 하이브리드 최적 제어 설정에서의 열린 문제 식별.
• 최적성 조건 기반 접근과 소산성 기반 접근 간의 격차 해소.

제안 방법

• 최적 제어 문제에서 전도성 행동를 특성화하기 위해 소산성 이론을 기초로 활용.
• 무한 시간 영역 최적 제어 이론을 적용하여 이산시간 및 연속시간에서 전도성과 소산성 성질 간의 동치성 수립.
• PDE 제약 최적 제어 문제에서의 적응형 공간 및 시간 메esh 조정을 위해 목표 지향적 오차 추정기 활용.
• 비선형 및 불안정 시스템을 포함한 PDE 수치 예제를 통해 전도성 기반 해법 전략의 효과성 검증.
• 재개된 시간 영역 제어 프레임워크와 일반 목표를 가진 MPC를 활용하여 시간 변화형 및 주기적 전도성 분석.
• 적응형 유한요소 방법에서 표준 및 목표 지향적 오차 추정기 비교를 통해 닫힌 루프 비용 감소.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다양한 시간 영역을 가진 이산시간 및 연속시간 최적 제어 문제에서 전도성 성질는 어떻게 나타나는가?
• RQ2 무한 시간 영역 최적 제어에서 소산성과 전도성 행동 간의 관계는 무엇인가?
• RQ3 장수명 또는 PDE 제약 최적 제어 문제의 수치적 효율성을 향상시키기 위해 전도성 성질를 어떻게 활용할 수 있는가?
• RQ4 시간 변화형, 할인율 적용, 또는 하이브리드 최적 제어 문제로의 전도성 이론 확장에서의 제한 사항과 열린 도전 과제는 무엇인가?
• RQ5 최적성 조건 기반 접근과 소산성 기반 접근 간의 전도성 분석 관계는 어떻게 되며, 어떤 문제 유형에서 적용 가능성이 다를까?

주요 결과

• 전도성 성질은 최적 제어 해에서 관찰된다: 궤적은 대부분의 시간 영역 동안 안정 상태 근처에 도달하고 머무르며, 끝부분에서 떠남.
• 소산성 기반 접근법을 통해 장수명 및 무한 시간 영역 최적 제어 문제의 수치적 해법에서 전도성 성질를 이론적으로 활용 가능.
• 수치 결과는 목표 지향적 오차 추정기로 인해 표준 추정기 대비 더 적은 격자 포인트 수로도 닫힌 루프 비용을 크게 감소시킴.
• PDE 제약 문제에서는 목표 지향적 오차 추정기를 활용한 적응형 공간 메쉬 조정이 MPC 시뮬레이션에서 더 낮은 비용과 향상된 효율성 달성.
• 특히 선형-제곱형 문제에서 이산시간 및 연속시간 설정 모두에서 전도성과 소산성 성질 간의 동치성이 엄밀히 입증됨.
• 할인율 적용 최적 제어, 시간 변화형 전도성, 전도성에서의 활성 제약 조건, 혼합 정수 또는 하이브리드 동역학 등에서 열린 문제 남아 있으며, 특히 무한 차원 설정에서 더욱 그렇다.