[논문 리뷰] Tutorial on principal component analysis, with applications in R

Henk van Elst|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 01.

Spectroscopy and Chemometric Analyses인용 수 1

한 줄 요약

이 튜토리얼은 R를 사용하여 주성분 분석(PCA)에 대한 종합적이고 코드 기반의 소개를 제공한다. 데이터 표준화, 상관계수 행렬의 고유값 분해, 여성의 키, 체중, 나이로 구성된 삼변량 데이터셋에 대한 차원 감소를 시연한다. 주요 결과로 단일 주성분이 총 분산의 57.94%를 설명하며, 원래의 3차원 데이터를 최대 분산을 설명하는 일변량 표현으로 감소시키고 변수 간 완전한 음의 상관관계를 보인다.

ABSTRACT

This tutorial reviews the main steps of the principal component analysis of a multivariate data set and its subsequent dimensional reduction on the grounds of identified dominant principal components. The underlying computations are demonstrated and performed by means of a script written in the statistical software package R.

연구 동기 및 목표

• R 프로그래밍 언어를 사용하여 주성분 분석(PCA)에 대한 명확하고 재현 가능한 튜토리얼을 제공하는 것.
• 성인 여성의 키, 체중, 나이로 구성된 실제 다변량 데이터셋에 대한 PCA의 실용적 구현을 보여주는 것.
• 표본 상관계수 행렬의 고유값 분해를 통해 효과적인 차원 감소가 가능함을 설명하는 것.
• 표준화된 데이터와 재구성된 데이터를 원래 척도와 변환된 척도에서 모두 시각화하고 해석하는 방법을 보여주는 것.
• 투명하고 실행 가능한 R 코드와 시각화를 통해 연구자와 학생들이 PCA를 이해할 수 있도록 지원하는 것.

제안 방법

• Howell(2001)의 실제 데이터셋(n=187명의 여성)을 로드하고 필터링하여 키[cm], 체중[kg], 나이[yr]의 세 개의 척도 변수를 추출하는 것.
• 기술통계분석을 수행하고 3차원 산점도 및 산점도 매트릭스를 사용하여 분포와 이변량 관계를 평가하는 것.
• R의 scale() 함수를 사용하여 z-점수를 통한 데이터 표준화를 수행하여 PCA에서 변수들이 동일한 가중치를 가지도록 하는 것.
• 표본 상관계수 행렬을 계산하고 고유값 분해를 수행하여 주성분을 식별하는 것.
• 설명된 분산 기반으로 주요 주성분을 선별하고, 차원 감소된 데이터셋을 구성하는 것.
• 역표준화를 사용하여 감소된 성분 공간에서 원래 측정 척도로 데이터를 재구성하여 해석과 비교를 위한 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 실제 다변량 데이터셋에 대해 R을 사용하여 주성분 분석을 단계별로 어떻게 구현할 수 있는가?
• RQ2 키, 체중, 나이로 구성된 삼변량 데이터셋에서 첫 번째 주성분이 총 분산의 몇 퍼센트를 설명하는가?
• RQ3 PCA를 통한 차원 감소 후 변수 간 상관계수는 어떻게 변화하는가?
• RQ4 원래 데이터는 감소된 성분 공간에서 얼마나 정확하게 재구성될 수 있는가?
• RQ5 원래 데이터와 차원 감소된 데이터의 시각화는 구조와 분포 측면에서 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 첫 번째 주성분만으로도 원래 삼변량 데이터셋의 총 분산의 57.94%를 설명한다.
• 차원 감소된 데이터셋은 첫 번째 성분이 대부분의 변동성을 설명하므로 실질적으로 일변량이다.
• 감소된 공간에서 원래 변수 간의 상관관계는 모두 정확히 -1.000이며, 완전한 음의 선형관계를 나타낸다.
• 원래 단위로 재구성된 데이터(XapproxCor)는 원래 데이터(X)와 거의 정확하게 일치하며, 최소한의 재구성 오차를 보인다.
• 표준 척도와 원래 척도에서의 감소된 데이터 시각화는 차원 감소에도 불구하고 구조적 패턴을 유지하고 있음을 보여준다.
• 이 튜토리얼은 데이터 로딩부터 시각화와 재구성에 이르기까지 R에서 완전히 재현 가능한 PCA 워크플로우를 성공적으로 시연하였다.