[논문 리뷰] Twisted cohomology of the Hilbert schemes of points on surfaces

Marc Nieper-Wißkirchen|ArXiv.org|2007. 08. 10.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 13인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 복소 표면 위의 점들에 대한 힐베르트 스킴과 국소적으로 상수인 계수를 갖는 경우에 대해, 코homology의 비틀림 이sovomorphism를 수립한다. 이는 그로이노프스키와 나카지마의 포크 공간 기술과 레른의 바이라소로 대세의 작용을 비틀림 케이스로 일반화한 것이다. 주요 결과는 표면의 수치적으로 자명한 캐논리컬 분할을 갖는 경우 컵 곱의 구조를 명시적으로 기술한 것으로, 이는 일반화된 쿠머 다양체와 특정한 칼라비-유만 다양체의 코homology 링에 대한 새로운 쿠머 대수의 구성 방식을 통해 모델링한다.

ABSTRACT

We calculate the cohomology spaces of the Hilbert schemes of points on surfaces with values in locally constant systems. For that purpose, we generalise I. Grojnoswki's and H. Nakajima's description of the ordinary cohomology in terms of a Fock space representation to the twisted case. We further generalise M. Lehn's work on the action of the Virasoro algebra to the twisted case. Building on work by M. Lehn and Ch. Sorger, we then give an explicit description of the cup-product in the twisted case whenever the surface has a numerically trivial canonical divisor. We formulate our results in a way that they apply to the projective and non-projective case in equal measure. As an application of our methods, we give explicit models for the cohomology rings of the generalised Kummer varieties and of a series of certain even dimensional Calabi--Yau manifolds.

연구 동기 및 목표

• 표면 위의 국소적으로 상수인 계수를 갖는 케이스에 대해, 힐베르트 스킴의 코homology에 대한 포크 공간 및 바이라소로 대세 기술을 일반화한다.
• 레른의 바이라소로 대세 작용 결과를 비틀림, 비프로젝티브 설정으로 일반화한다.
• 표면의 수치적으로 자명한 캐논리컬 분할을 갖는 경우, 힐베르트 스킴의 코homology에서 컵 곱의 구조를 명시적으로 기술한다.
• 비틀림 코homology 프레임워크를 사용하여 일반화된 쿠머 다양체와 짝수 차원 칼라비-유만 다양체의 일련의 코homology 링에 대한 명시적 모델을 구성한다.

제안 방법

• 힐베르트 스킴의 총 비틀림 코homology에 작용하는 비틀림 헤이젠베르크 리 대수 $\mathfrak{h}_{X,L}$를 정의하여 나카지마의 구성으로 일반화한다.
• 비틀림 바이라소로 대수 $\mathfrak{v}_{X,L}$를 도입하고, 총 코homology에 대한 작용을 정의하여, 레른의 결과를 비프로젝티브 케이스로 일반화한다.
• 유한 부분군에 의해 유도된 $G$-커버링의 레라 이론 스펙트럴 시퀀스를 사용하여 커버의 코homology를 계산한다.
• 그레이딩된 프로베누스 대수 $H$로부터 $G$-가중 힐베르트 대수 $H^{[n]}$를 구성하여 [LS03]의 구성 방식을 일반화한다.
• $H^{[n]} \otimes_H \mathbf{C}$를 사용하여 $n$-번째 쿠머 대수 $H^{[[n]]}$를 정의하고, 이가 일반화된 쿠머 다양체의 코homology를 모델링함을 보인다.
• 아벨 표면에서의 곱셈-by-$n$ 사상과 관련된 카르테시안 다이어그램을 통해 일반화된 쿠머 다양체의 코homology 링과 $H^{[[n]]}$ 사이의 동형을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표면 위의 점들에 대한 힐베르트 스킴의 코homology는 국소적으로 상수인 계수를 갖는 경우 어떻게 기술할 수 있는가?
• RQ2 비틀림 코homological 설정에서 바이라소로 대세 작용의 구조는 무엇이며, 이는 레른의 비틀림이 없는 결과를 어떻게 일반화하는가?
• RQ3 비틀림 코homology에서 컵 곱의 구조를 명시적으로 기술할 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ4 비틀림 코homology와 대수적 구성 방법을 사용하여 일반화된 쿠머 다양체의 코homology 링을 어떻게 모델링할 수 있는가?
• RQ5 $G$-커버링이 비틀림 코homology를 계산하고 쿠머 대수와 연결하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 총 비틀림 코homology $\bigoplus_{n\geq 0}H^*({X}^{[n]},{L}^{[n]}[2n])$와 대칭 대수 $S^*(\bigoplus_{\nu\geq 1}H^*(X,L^{\nu}[2]))$ 사이에 자연스러운 벡터 공간 동형이 존재하며, 이는 그레딩과 가중치를 유지한다.
• 비틀림 코homology는 비틀림 헤이젠베르크 대수 $\mathfrak{h}_{X,L}$의 임의의 최저 무게 표현을 자연스럽게 지니며, 나카지마의 결과를 일반화한다.
• 비틀림 바이라소로 대수 $\mathfrak{v}_{X,L}$는 총 비틀림 코homology에 작용하며, 경계 연산자와의 교환자 관계는 비틀림이 없는 경우와 동일한 관계를 만족한다.
• 표면 $X$가 수치적으로 자명한 캐논리컬 분할을 갖는 경우, 다음의 $G$-가중 그레딩 대수의 동형이 자연스럽게 존재한다: $\bigoplus_{L\in G}H^*({X}^{[n]},{L}^{[n]}[2n]) \cong \left(\bigoplus_{L\in G}H^*(X,L[2])\right)^{[n]}$, 이는 [LS03]을 일반화한다.
• 일반화된 쿠머 다양체 ${X}^{[[n]]}$의 코homology 링은 $n$-번째 쿠머 대수 $H^{[[n]]}$와 동형이며, 이는 $H^{[n]} \otimes_H \mathbf{C}$로 구성되며, 여기서 $H = H^*(X,\mathbf{C}[2])$이다.
• 이 구성은 쿠머 대수의 구성 방식을 통해 일반화된 쿠머 다양체와 짝수 차원 칼라비-유만 다양체의 일련에 대한 코homology 링에 대한 명시적 모델을 제공한다.