[논문 리뷰] Twisted compactifications of 3d N = 4 theories and conformal blocks

Davide Gaiotto|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 04.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 11인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 3D $σ=4$ 이론을 리만 곡면 위에서 비틀린(compactified) 경우의 초대칭 기저 상태 공간이 비유닛성 비터텍스 연산자 대수(VOA)의 conformal block와 동형임을 제안한다. 이 VOAs는 UV 라그랑지안 기술 또는 그 반사 이론으로부터 구성되며, 기저 상태의 CFT 기술을 가능하게 하는 IR 대칭—예를 들어 강화된 전역 대칭—을 캡슐화한다고 추측한다. 이는 기하학적 랑글랜드 이중성의 핵심이 되는 $T[SU(N)]$ 이론의 기저 상태에 대한 CFT 기술을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Three-dimensional N = 4 supersymmetric quantum field theories admit two topological twists, the Rozansky-Witten twist and its mirror. Either twist can be used to define a supersymmetric compactification on a Riemann surface and a corre- sponding space of supersymmetric ground states. These spaces of ground states can play an interesting role in the Geometric Langlands program. We propose a description of these spaces as conformal blocks for certain non-unitary Vertex Operator Algebras and test our conjecture in some important examples. The two VOAs can be constructed respectively from a UV Lagrangian description of the N = 4 theory or of its mirror. We further conjecture that the VOAs associated to an N = 4 SQFT inherit properties of the theory which only emerge in the IR, such as enhanced global symmetries. Thus knowledge of the VOAs should allow one to compute the spaces of supersymmetric ground states for a theory coupled to supersymmetric background connections for the full symmetry group of the IR SCFT. In particular, we propose a conformal field theory description of the spaces of ground states for the T[SU(N)] theories. These theories play a role of S-duality kernel in maximally supersymmetric SU(N) gauge theory and thus the corresponding spaces of supersymmetric ground states should provide a kernel for the Geometric Langlands duality for special unitary groups.

연구 동기 및 목표

• 비틀림된 3D $σ=4$ 초대칭 양자장이론(SQFT)의 기저 상태를 기술하는 방법을 제안하되, 이는 UV 라그랑지안에서 보이지 않는 숨겨진 IR 대칭에도 불구하고 유효해야 한다.
• 이 기저 상태 공간이 UV 라그랑지안 데이터 또는 그 반사 이론으로부터 구성된 비유닛성 VOAs의 conformal block과 동형임을 추측한다.
• 특히 유니터리 군의 선형 퀘인 게이지 이론과 같이 IR 대칭 강화가 알려진 주요 예제에서 이 추측을 검증한다.
• VOAs, conformal block, 그리고 기하학적 랑글랜드 이중성 맥락에서의 찬-파톤(bundle) 간의 물리적이고 수학적인 다리를 구축한다.
• 특히 BAA 및 BBB 브라인에 대해 비유닛성 VOAs의 conformal block을 보다 정교하게 기술하기 위해 유도 대수기하학의 활용을 동기화한다.

제안 방법

• 3D $σ=4$ SQFT를 리만 곡면 위에서 비틀기 위해 두 가지 토폴로지적 토글스—H-twist(Rozansky-Witten)와 C-twist(mirror)—를 사용하여 1D ${σ}=4$ 양자역학을 도출한다.
• 초대칭 기저 상태 공간 ${\cal H}_H[T,C]$ 를 비유닛성 비터텍스 연산자 대수 ${\mathbb{A}}_H[T]$ 의 conformal block과 동치로 식별한다.
• 3D 이론의 UV 라그랑지안 기술 또는 그 반사 이론으로부터 VOAs를 구성하며, 이 VOAs의 대칭성은 SCFT의 IR 전역 대칭과 일치한다.
• 해석적 계산을 위해 복소함수의 작용 $\langle Z, \bar{\partial}_E Z \rangle$ 를 사용하여 $\operatorname{Bun}(G,C)$ 위의 D-모듈러스와 conformal block을 정의하고, 이에 대해 호모로지적 해석을 제공한다.
• 유도 범주를 사용한 conformal block의 형식적 처리로서, $\hbar$-변형된 미분을 갖는 미분형식의 복합체로 모델링하여 워드 항등식을 보장한다.
• 자기결합 구조와 모드 전개(예: $Z^{(i)}_{-n-1/2}$)를 적용하여 무한차원 경로적분을 구멍이 있는 점들에서 유한차원 가우시안 적분으로 축소한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3D $σ=4$ SQFT를 리만 곡면에 비틀어 compactify한 경우의 초대칭 기저 상태 공간은 비유닛성 비터텍스 연산자 대수의 conformal block으로 기술될 수 있는가?
• RQ2 3D $σ=4$ 이론에 관련된 VOAs는 UV 라그랑지안에서 보이지 않는 IR 강화된 전역 대칭을 캡슐화하는가?
• RQ3 심플렉틱 보존의 conformal block은 영모드의 수가 변할 때 어떻게 변하는가? 그 호모로지적 구조는 어떠한가?
• RQ4 기하학적 랑글랜드 이중성에서 BAA 및 BBB 브라인에 대한 찬-파톤 범주가 3D $σ=4$ 이론으로부터 유도된 VOAs의 conformal block으로 물리적으로 실현될 수 있는가?
• RQ5 이 맥락에서 비유닛성 VOAs의 conformal block을 정의하는 데 있어 유도 대수기하학의 역할은 무엇인가?

주요 결과

• H-twist를 거친 3D $σ=4$ SQFT의 초대칭 기저 상태 공간 ${\cal H}_H[T,C]$ 는 비유닛성 비터텍스 연산자 대수 ${\mathbb{A}}_H[T]$ 의 conformal block과 동형임을 추측한다.
• $T[SU(N)]$ 이론의 경우, 제안된 VOA 기술은 $SU(N)$ 군에 대한 기하학적 랑글랜드 이중성의 CFT 핵심을 제공한다.
• UV 라그랑지안 또는 그 반사 이론으로부터 구성된 VOAs는 IR 전역 대칭, 예를 들어 $T[SU(N)]$ 에서의 강화된 $SU(N)$ 플라버 대칭을 상속할 것이라 추측된다.
• 보손 영모드를 포함한 유한차원 토이 모델에서 경로적분 측도는 호모로지적으로 비자명한 형식으로 대체되어야 하며, 이는 $-1$차 호모로지에서 비자명한 호모로지 구조를 유도한다.
• 심플렉틱 보존의 conformal block은 $\hbar$-변형된 미분을 갖는 미분형식의 복합체로 모델링되며, 이는 워드 항등식을 보장하고 형식적으로 닫혀 있음을 보장한다.
• 전체 conformal block의 구조는 구멍이 있는 점들에서의 영모드에 대한 가우시안 적분으로 축소되며, 이는 D-모듈러스의 구조를 단순화된 유한차원 기술로 표현할 수 있음을 시사한다.