[논문 리뷰] Twisted conjugacy classes in residually finite groups

Alexander Fel’shtyn, Evgenij Troitsky|arXiv (Cornell University)|2012. 04. 14.

Finite Group Theory Research참고 문헌 68인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 유한 생성 잔여 유한군에 대해 비틀린 버누이드-프로베니우스 정리를 수립하며, 자동형사 $φ$의 비틀린 쌍대 클래스 수가 $φ$의 이중 작용에 의한 고정된 유한 차원 단위 유니터리 표현의 수와 같음을 증명한다. 또한 모든 유한 생성 잔여 유한 비압착 군들이 $R_{∞}$ 성질을 가지며, 이는 모든 자동형사가 무한히 많은 비틀린 쌍대 클래스를 가짐을 의미하여, 이러한 군들의 알려진 범주를 크게 확장한다.

ABSTRACT

We prove for residually finite groups the following long standing conjecture: the number of twisted conjugacy classes of an automorphism of a finitely generated group is equal (if it is finite) to the number of finite dimensional irreducible unitary representations being invariant for the dual of this automorphism. Also, we prove that any finitely generated residually finite non-amenable group has the R-infinity property (any automorphism has infinitely many twisted conjugacy classes). This gives a lot of new examples and covers many known classes of such groups.

연구 동기 및 목표

• 유한 생성 잔여 유한 군에 대해 버누이드-프로베니우스 정리의 비틀린 유사체를 수립하기.
• 오랫동안 남아 있던 추측, 즉 Reidemeister 수 $R(\phi)$가 $\widehat{\phi}$가 유한 차원 단위 유니터리 이중에 작용할 때의 고정점 수와 일치한다는 것을 해결하기.
• 유한 생성 잔여 유한 군들 중에서 $R_{\infty}$ 군의 범주를 특성화하기.
• 비틀린 쌍대 클래스, 표현 이론, 압착성 및 잔여 유한성과 같은 군의 성질을 연결하는 통합 프레임워크를 제공하기.

제안 방법

• 비틀린 버누이드-프로베니우스 이론의 이중 공간으로서 유한 차원 기약 단위 유니터리 표현의 단위 이중 $\widehat{G}_f$ 를 사용하기.
• 피터-바일 정리와 슈어의 보조정리를 적용하여 $R(\phi)$ 를 $\widehat{G}_f$ 에서 유도된 사상 $\widehat{\phi}$ 의 고정점과 연결하기.
• 잔여 유한성을 활용하여 유한 몫군으로부터 성질을 올려받고 표현 불변성을 통해 비틀린 쌍대 클래스 분석하기.
• 약한 포함과 행렬 계수 기법을 활용하여 $\widehat{G}_f$ 에서의 이중 작용 $\widehat{\phi}$ 를 연구하기.
• 가우스 합동식과 모비우스 역전제를 사용하여 비틀린 버누이드-프로베니우스 정리로부터 동적 결과 유도하기.
• 정확한 수열과 부분군 성질을 포함한 구조적 군 이론을 활용하여 브레이드 군, 표면 군, 아르틴 군 분석하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 생성 잔여 유한 군에서 자동형사 $\phi$ 의 비틀린 쌍대 클래스 수 $R(\phi)$ 는 $\widehat{\phi}$ 에 의해 고정된 유한 차원 단위 유니터리 표현의 수와 같은가?
• RQ2 어느 유한 생성 잔여 유한 군들이 $R_{\infty}$ 성질을 가지는가? 즉, 모든 $\phi$ 에 대해 $R(\phi) = \infty$ 인가?
• RQ3 비틀린 버누이드-프로베니우스 정리는 거의 폴리사이클 군을 초월하여 메타아벨 또는 제한된 와이어드 tích과 같은 더 넓은 범주로 확장될 수 있는가?
• RQ4 압착성이 잔여 유한 군들에서 $R_{\infty}$ 성질을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 $\mathbb{Z}^n$, 자유 노르몬 군, 메타아벨 군과 같은 군들의 Reidemeister 스펙트럼은 $\widehat{G}_f$ 에서 $\widehat{\phi}$ 의 고정점과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 모든 유한 생성 잔여 유한 군에서 비틀린 버누이드-프로베니우스 정리가 성립한다: $R(\phi) < \infty$ 일 때 $\widehat{G}_f$ 내의 $\widehat{\phi}$-고정점 수와 $R(\phi)$ 가 같다.
• 모든 유한 생성 잔여 유한 비압착 군들은 $R_{\infty}$ 성질을 가지며, 이는 모든 자동형사가 무한히 많은 비틀린 쌍대 클래스를 가짐을 의미한다.
• $\mathbb{Z}^n$ 의 Reidemeister 스펙트럼은 $n \geq 2$ 일 때 $\mathbb{N} \cup \{\infty\}$ 이며, 이산 헤이센베르크 군 $N_{22}$ 의 경우 $2\mathbb{N} \cup \{\infty\}$ 이다.
• 메타아벨 군 $\mathbb{Z}[1/p]^2 \rtimes_\theta \mathbb{Z}$ 에서 Reidemeister 스펙트럼은 $\theta$ 의 고유값에 따라 달라지며, $r, s \in \{\pm 1\}$ 의 서로 다른 경우에 대해 서로 다른 스펙트럼을 가진다.
• 표면 $\Sigma$ 의 곡면 계수 $\geq 1$ 이나 경계가 있는 경우 또는 닫힌 표면에서 $n \geq 3$ 일 때 순수 브레이드 군 $P_n(\Sigma)$ 는 비압착성과 잔여 유한성으로 인해 $R_{\infty}$ 성질을 가진다.
• 잔여 유한성이 아닌 군들인 오신의 군과 이바노프의 군은 충분한 유한 차원 표현이 없어 비틀린 버누이드-프로베니우스 정리를 만족하지 못한다.