[논문 리뷰] Twisted conjugacy classes in Symplectic groups, Mapping class groups and Braid groups(including an Appendix written with Francois Dahmani)

Alexander Fel’shtyn, Daciberg Lima Gonçalves|ArXiv.org|2007. 08. 20.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 35인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 심플렉틱 군 $Sp(2n,\mathbb{Z})$, 컴act 표면의 매핑 클래스 군, 그리고 디스크와 구면 위의 전체 브레인 군에 대해 $R_\infty$ 성질을 확립한다. 특히 초구형 공간에서의 작용과 외부 쌍대 클래스 분석을 포함한 대수적 및 기하군론 기법을 사용하여, 임의의 자기동형사상 $φ$에 대해 $φ$-외부 쌍대 클래스의 수가 무한함을 증명함으로써, 이러한 군들이 $R_\infty$ 성질을 만족함을 확인한다.

ABSTRACT

We prove that the symplectic group $Sp(2n,\mathbb Z)$ and the mapping class group $Mod_{S}$ of a compact surface $S$ satisfy the $R_{\infty}$ property. We also show that $B_n(S)$, the full braid group on $n$-strings of a surface $S$, satisfies the $R_{\infty}$ property in the cases where $S$ is either the compact disk $D$, or the sphere $S^2$. This means that for any automorphism $ϕ$ of $G$, where $G$ is one of the above groups, the number of twisted $ϕ$-conjugacy classes is infinite.

연구 동기 및 목표

• 심플렉틱 군 $Sp(2n,\mathbb{Z})$, 매핑 클래스 군 $Mod_S$, 브레인 군 $B_n(S)$ 가 $R_\infty$ 성질을 만족하는지 여부를 규명하는 것.
• 모든 자기동형사상 $φ$에 대해 $R(\phi) = \infty$ 를 확인함으로써, 외부 번역-프로베니우스 추측을 검토할 수 있는 군의 범주를 확장하는 것.
• 특히 초구형 작용과 준등거리 불변성을 포함한 기하군론 기법을 사용하여, 비초구형 환경에서도 $R_\infty$ 성질을 증명하는 것.
• 이전에 검증되지 않았던 디스크와 구면 위의 브레인 군에 대해 $R_\infty$ 성질을 해결하는 것.

제안 방법

• Torelli 군 $I_n$을 포함하는 짧은 정규열 $1 \to I_n \to Mod_S \to Sp(2n,\mathbb{Z}) \to 1$ 을 사용하여, $Mod_S$의 $R_\infty$ 성질을 $Sp(2n,\mathbb{Z})$의 성질과 연관짓는 것.
• Delzant의 보조정리와 Gromov-초구형 공간에서의 비원소적 작용을 적용하여, 코셋이 자기동형사상 하에 무한한 수의 쌍대 클래스를 포함함을 보이는 것.
• $Mod_S$ 가 초구형인 곡선 그래프 $\mathcal{G}(S)$ 에 비원소적으로 작용함을 이용하여, 자기동형사상 $φ$ 에 대해 $R(\phi) = \infty$ 를 유도하는 것.
• 방향 전환 자기동형사상에 대해 분석하기 위해, $Mod_S \rtimes \mathbb{Z}_2 \simeq Mod_S^*$ 의 반직접곱 구조를 활용하는 것.
• 준등거리 불변성과 기하군론의 결과(예: Druţu의 작업)를 활용하여, 상대적으로 초구형 군들로 $R_\infty$ 성질을 확장하는 것.
• $Mod_S$ 가 $3g + p - 4 > 0$ 일 때 무한한 일반 쌍대 클래스를 가짐을 이용하여, 항등 자기동형사상에 대해 $R(\phi) = \infty$ 를 유도하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $n \geq 1$ 에 대해 심플렉틱 군 $Sp(2n,\mathbb{Z})$ 는 $R_\infty$ 성질을 만족하는가?
• RQ2 성분 수가 $p$ 인 고리수 $g$ 의 컴팩트 표면 $S$ 의 매핑 클래스 군 $Mod_S$ 는 $3g + p - 4 > 0$ 일 때 모든 자기동형사상 $φ$ 에 대해 $R(\phi) = \infty$ 를 만족하는가?
• RQ3 디스크와 구면 위의 전체 브레인 군 $B_n(D)$ 와 $B_n(S^2)$ 는 $R_\infty$ 성질을 만족하는가?
• RQ4 특히 초구형 작용과 외부 쌍대 클래스 분석을 포함한 기하군론 기법을 사용하여, 비초구형 군들에 대해 $R_\infty$ 를 증명할 수 있는가?
• RQ5 Torelli 군 $I_n$ 은 $Sp(2n,\mathbb{Z})$ 에서 $Mod_S$ 로의 $R_\infty$ 성질 전이에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 모든 $n \geq 1$ 에 대해 심플렉틱 군 $Sp(2n,\mathbb{Z})$ 는 $R_\infty$ 성질을 만족하며, 이는 모든 자기동형사상 $φ$ 에 대해 $R(\phi) = \infty$ 를 의미한다.
• 성분 수가 $p$ 인 고리수 $g$ 의 컴팩트 표면 $S$ 에 대해 $3g + p - 4 > 0$ 일 때, 매핑 클래스 군 $Mod_S$ 는 $R_\infty$ 성질을 만족하며, 경계 성분이 하나인 토러스의 경우도 포함된다.
• 디스크 위의 전체 브레인 군 $B_n(D)$ 와 구면 위의 $B_n(S^2)$ 는 모든 $n \geq 1$ 에 대해 $R_\infty$ 성질을 만족한다. 유일한 예외는 몇 가지 작은 경우에 국한된다.
• $Mod_S$ 가 초구형 곡선 그래프 $\mathcal{G}(S)$ 에 비원소적으로 작용하므로, 임의의 자기동형사상 $φ$ 에 대해 무한한 수의 외부 쌍대 클래스가 존재함을 보장하며, 이로 인해 $R_\infty$ 성질이 성립한다.
• 반직접곱 구조 $Mod_S \rtimes \mathbb{Z}_2$ 를 통해 전체 매핑 클래스 군 $Mod_S^*$ 로의 확장이 가능하며, 방향 전환 자기동형사상의 작용 하에서도 $R_\infty$ 성질이 유지된다.
• 일반 결과로 다루지 못한 경우는 토러스에 최대 한 개의 경계 성분이 있거나, 구면에 최대 네 개의 경계 성분이 있을 때이며, 이는 직접 계산과 $Out(Mod_S)$ 의 지식을 통해 해결되었다.