[논문 리뷰] Twisted cyclic theory and an index theory for the gauge invariant KMS state on Cuntz algebras

Alan L. Carey, Jessica Phillips외 1명|ArXiv.org|2008. 01. 30.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 20인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 게이지 불변 KMS 상태의 모듈러 자동형사상 군에서 유도된 왜곡된 순환 코호몰로지 족을 사용하여 Cuntz 대수에 대한 새로운 인덱스 이론을 개발한다. 수정된 $K_1$-군과 스펙트럴 플로우 공식을 도입함으로써, 추적 기반이 아닌 쌍형을 수립하고 Araki의 상대 엔트로피와 연결하며, 유형 III 비가환 다양체의 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

This paper presents, by example, an index theory appropriate to algebras without trace. Whilst we work exclusively with the Cuntz algebras the exposition is designed to indicate how to develop a general theory. Our main result is an index theorem (formulated in terms of spectral flow) using a twisted cyclic cocycle where the twisting comes from the modular automorphism group for the canonical gauge action on the Cuntz algebra. We introduce a modified $K_1$-group of the Cuntz algebra so as to pair with this twisted cocycle. As a corollary we obtain a noncommutative geometry interpretation for Araki's notion of relative entropy in this example. We also note the connection of this example to the theory of noncommutative manifolds.

연구 동기 및 목표

• 추적을 갖지 않는 C*-대수, 특히 Cuntz 대수를 원형으로 삼아 인덱스 이론을 확장한다.
• 추적의 부재 속에서 KMS 상태와 스펙트럴 플로우를 활용하여 비자명한 인덱스 쌍형을 정의한다.
• 모듈러 자동형사상 군에서 유래된 왜곡된 잔여 코호몰로지 족과 쌍형이 되는 수정된 $K_1$-군을 도입한다.
• Araki의 상대 엔트로피를 스펙트럴 플로우와 비가환 기하학의 관점에서 해석한다.
• 모듈러 스펙트럴 트리플이 비가환 다양체를 위한 Connes의 공리계의 왜곡된 형태를 만족시킴을 확립한다.

제안 방법

• 기본 게이지 작용과 그에 관련된 모듈러 자동형사상 군을 사용하여 Cuntz 대수 위에 모듈러 스펙트럴 트리플을 구성한다.
• 반한정 잔여 구조를 활용하여 KMS 상태를 추적 대신 사용하는 왜곡된 순환 코호몰로지 족을 정의한다.
• 기존 $K_1$ 대신 사용되는 새로운 이opp를 도입하여 '모듈러 $K_1$'로 명명한다.
• 표준 딕스미에르 추적 대신 KMS-Dixmier 함수를 사용하는 스펙트럴 플로우 공식을 유도한다.
• 매핑 콘 알제브라 구조를 사용하여 인덱스 쌍형을 KK-이론과 연결하고 카스파로프 모듈 프레임워크를 확장한다.
• 모듈러 스펙트럴 트리플이 비가환 다양체를 위한 Connes의 공리계의 왜곡된 형태를 모두 만족함을 검증한다. 이는 왜곡된 Hochschild 사이클을 통한 방향성의 정의를 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 추적을 갖지 않는 C*-대수, 예를 들어 Cuntz 대수와 같이 비가환 다양체로 간주될 수 있는 대수에 대해 인덱스 이론을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 모듈러 자동형사상 군은 추적 기반이 아닌 인덱스 쌍형을 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 KMS 상태의 맥락에서 스펙트럴 플로우는 Araki의 상대 엔트로피 개념과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 모듈러 스펙트럴 트리플은 비가환 다양체를 위한 Connes의 공리계의 왜곡된 형태를 만족하는가?
• RQ5 새로운 인덱스 불변량과 기존의 $KK$-이론적 또는 반한정 인덱스 이론 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 스펙트럴 플로우 $\mathcal{D}$에서 $u\mathcal{D}u^*$로는 $\frac{1}{\log n} S(\psi_u, \psi)$와 같으며, 이는 상대 엔트로피가 스펙트럴 플로우에 비례함을 보여준다.
• 상대 엔트로피 $S(\psi_u, \psi)$는 $-(\log n) \cdot \psi(u[\mathcal{D}, u^*])$로 주어지며, 이를 통해 직접적으로 왜곡된 인덱스 쌍형과 연결된다.
• 왜곡된 Hochschild 사이클 $c = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n S_j^* \otimes S_j$는 왜곡된 방향성 조건을 만족하며, $\mathcal{H}$ 위에서 항등원을 나타낸다.
• 모듈러 스펙트럴 트리플은 표준 합성가능성 이외의 모든 비가환 다양체 공리를 만족하며, $\mathcal{L}^{(1,\infty)}$-합성가능성으로 대체된다.
• $K_1$-값을 갖는 인덱스 쌍형은 스펙트럴 플로우 공식을 통해 계산되며, 이 불변량은 일반 $K_1$ 가 아니라 수정된 $K_1$-군에 속한다.
• 공식 $\lim_{s\to 1^+} (s-1) \widehat{\tau}(\Psi(a)(1+\mathcal{D}^2)^{-s/2}) = 2\psi(a) > 0$는 모듈러 설정에서의 합성가능성의 한 형태를 확인한다.