[논문 리뷰] Twisted longitudinal index theorem for foliations and wrong way functoriality

Paulo Carrillo Rouse, Bai‐Ling Wang|arXiv (Cornell University)|2010. 05. 20.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 변형 양자화와 Connes의 접선 군oids를 이용하여, 잡종 다발에 대한 비틀린 종방향 지수정리의 수립을 다루며, Connes-Skandalis 지수정리를 비틀린 K-이론으로 일반화한다. 매끄러운 사상에 의한 비틀린 K-이론에서의 잘못된 방향의 함의적 사상(푸시포워드)을 구성하고, 함의적 성질을 증명하며, 비틀린 경우와 다각형의 경우에 알려진 결과를 복원한다.

ABSTRACT

For a Lie groupoid G with a twisting (a PU(H)-principal bundle over G), we use the (geometric) deformation quantization techniques supplied by Connes tangent groupoids to define an analytic index morphism in twisted K-theory. In the case the twisting is trivial we recover the analytic index morphism of the groupoid. For a smooth foliated manifold with twistings on the holonomy groupoid we prove the twisted analog of Connes-Skandalis longitudinal index theorem. When the foliation is given by fibers of a fibration, our index coincides with the one recently introduced by Mathai-Melrose-Singer. We construct the pushforward map in twisted K-theory associated to any smooth (generalized) map $f:W\longrightarrow M/F$ and a twisting $σ$ on the holonomy groupoid $M/F$, next we use the longitudinal index theorem to prove the functoriality of this construction. We generalize in this way the wrong way functoriality results of Connes-Skandalis when the twisting is trivial and of Carey-Wang for manifolds.

연구 동기 및 목표

• 잡종 다발에서의 비틀린 K-이론으로 Connes-Skandalis 종방향 지수정리를 일반화하기.
• 변형 양자화와 접선 군oids 구성법을 통해 비틀림을 가진 리 군oids에 대한 분석적 지수 사상의 정의.
• 다양체에서 잡종 공간으로의 매끄러운 사상에 대해 비틀린 K-이론에서 잘못된 방향의 함의적 성질(푸시포워드)을 정의하고 증명하기.
• Connes-Skandalis(비틀림 없는 경우)와 Carey-Wang(비틀린 다각형의 경우)의 결과를 잡종 다발의 경우로 일반화하기.
• 잡종 기하학적 K-호모로지에 대한 비틀린 어셈블리 맵의 기초를 마련하며, S¹-등변 지수와의 연결 고리 제공.

제안 방법

• 접선 군oids 구성법을 이용하여, 정규 쌍선으로의 변형을 통한 비틀린 리 군oids에 대한 분석적 지수 사상 정의.
• 기하학적 변형 양자화 기법을 적용하여, 리 대수의 K-이론에서 비틀린 군oids C*-대수의 K-이론으로 향하는 비틀린 분석적 지수 정의.
• 매끄러운 사상을 부분사상으로 분해하고, 부분사상에 대한 비틀린 K-이론에서의 푸시포워드를 사용하여 비틀린 K-이론에서의 푸시포워드 사상 구성.
• 위상적 K-이론에서의 톰 이sov모르피즘과 Bott 주기성을 활용하여, 위상적 지수와 잡종 C*-대수의 K-이론 간의 관계 설정.
• 요소의 조합과 [7]에서의 푸시포워드의 함의적 성질(Connes-Skandalis)을 이용하여 푸시포워드의 함의적 성질 증명.
• 잡종 열린 근방의 C*-대수와 횡단선에서 무한대에 수렴하는 연속 함수의 모노이드 간의 Morita 동치에 의존.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Connes-Skandalis 종방향 지수정리는 어떻게 잡종 다발에서의 비틀린 K-이론로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 비틀림을 지닌 리 군oids에 대해 비틀린 K-이론에서 분석적 지수 사상의 올바른 표현은 무엇인가?
• RQ3 다양체에서 잡종 공간으로의 매끄러운 사상에 대해 비틀린 K-이론에서 잘못된 방향의 함의적 성질(푸시포워드)는 어떻게 정의되고 증명될 수 있는가?
• RQ4 비틀린 지수 구성법이 비틀림 없는 경우(Connes-Skandalis)와 비틀린 다각형의 경우(Carey-Wang)에서 알려진 결과를 어떻게 복원하는가?
• RQ5 접선 군oids와 변형 양자화 기법은 비틀린 지수 및 푸시포워드 사상의 구성에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 논문은 비틀림 σ를 지닌 리 군oids에 대해 비틀린 분석적 지수 사상의 구성이 이루어졌으며, 이는 비틀림 없는 경우를 일반화하고 σ가 자명할 경우 Connes-Skandalis 지수를 복원한다.
• 비틀린 종방향 지수정리가 증명됨: 잡종 다발에서의 비틀린 K-이론에서 분석적 지수와 위상적 지수가 같다.
• 모든 매끄러운 사상 f:W→M/F에 대해, 힐로노미 군oids에서의 비틀림 σ가 존재할 경우 비틀린 K-이론에서의 푸시포워드 사상이 정의됨.
• 푸시포워드 사상이 함의적 성질을 가짐: (f∘g)_! = f_! ∘ g_! 가 성립함을 증명함.
• σ가 자명하고 f가 K-지향적일 경우, 이 구성은 Connes-Skandalis의 푸시포워드를 복원한다.
• 잡종의 하나의 리프만(즉, M/F가 다각형일 경우), 이 구성은 Carey-Wang가 정의한 비틀린 K-이론의 푸시포워드로 축소된다.