[논문 리뷰] Twisted modules for N=2 supersymmetric vertex operator superalgebras arising from finite automorphisms of the N=2 Neveu-Schwarz algebra

Katrina Barron|arXiv (Cornell University)|2011. 10. 02.

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한 줄 요약

이 논문은 N=2 초대칭 버텍스 연산자 수퍼대수(VOSA)에서 유한 순환자기의 상향으로 유도된 N=2 Neveu-Schwarz 대수의 유한 자동형사상으로부터 기인하는 꼬인 모듈러스를 분류한다. 이는 라몬 및 미러-꼬임 섹터를 포함한다. 자유 및 격자 N=2 VOSA에 대해 스펙트럴 플로우 자동형사상을 사용하여 이러한 모듈러스를 명시적으로 구성하고, 미러 맵 상향이 유일하지 않음을 보이며, 이로 인해 미러-꼬임 모듈러스의 비이sov모듈러스 카테고리가 생긴다.

ABSTRACT

Twisted modules for N=2 supersymmetric vertex operator superalgebras are classified for the vertex operator superalgebra automorphisms which are lifts of a finite automorphism of the N=2 Neveu-Schwarz Lie superalgebra representation. These include the Ramond-twisted sectors and mirror-twisted sectors for N=2 vertex operator superalgebras, as well as twisted modules related to more general "spectral flow" representations of the N=2 Neveu-Schwarz algebra. We present the construct of twisted modules for free N=2 vertex operator superalgebras for all of the N=2 Neveu-Schwarz Lie superalgebra automorphisms of finite order. We show how to extend these to lattice N=2 vertex operator superalgebras. As a consequence, we also construct the Ramond-twisted sectors for free and lattice N=1 supersymmetric vertex operator superalgebras. We show that the lifting of the mirror automorphism for the N=2 Neveu-Schwarz algebra to an N=2 vertex operator superalgebra is not unique and that different mirror map vertex operator superalgebra automorphisms of an N=2 vertex operator superalgebra can lead to non-isomorphic categories of mirror-twisted modules, as in the case of free and lattice N=2 vertex operator superalgebras.

연구 동기 및 목표

• N=2 초대칭 버텍스 연산자 수퍼대수(VOSA)에 대해 N=2 Neveu-Schwarz 대수의 유한 순서 자동형사상으로부터 올라온 자동형사상에 의한 꼬인 모듈러스를 분류하는 것.
• 특히 라몬 및 미러-꼬임 섹터에 중점을 두어 자유 및 격자 N=2 VOSA에 대해 명시적인 꼬인 모듈러스를 구성하는 것.
• N=2 VOSA 자동형사상으로서의 미러 자동형사상 상향의 비유일성과 그 모듈러스 카테고리 구조에 미치는 영향을 조사하는 것.
• 자유 페르미온 및 보존자 구성법을 격자 N=1 및 N=2 VOSA로 확장하고, 그 꼬인 모듈러스 구조를 분석하는 것.
• N=2 초등형 대수의 표현을 통해 꼬인 모듈러스를 완전히 특성화하고, 그 중량 차원을 계산하는 것.

제안 방법

• N=2 Neveu-Schwarz 대수의 스펙트럴 플로우 자동형사상 $\sigma_{\xi}$를 사용하여 자유 N=2 VOSA에 대해 $\sigma_{\xi}$-꼬임 모듈러스를 구성한다. 여기서 $\xi$는 단위근이다.
• Li(2002)의 버텍스 연산자 수퍼대수 기법을 활용하여, 일반화된 교환관계를 만족하는 꼬임 버텍스 연산자 $Y^{\sigma_{\xi}}(a,x)$를 통해 꼬임 모듈러스를 정의한다.
• 스펙트럴 플로우 $\sigma_{\xi}$-꼬임 진공 모듈러스 구성법을 사용하여, 분수 모드 이동을 가진 히젠베르크 및 페르미온 생성자로부터 유도된 페르미온 피크 공간 $M_{\sigma_{\xi}}$를 구성한다.
• 자유 보존자 및 페르미온 VOSA를 텐서곱으로 조합하여 전체 N=2 VOSA에 대한 $\sigma_{\xi}$-꼬임 모듈러스로 $V_{\text{bos}} \otimes V_{\text{bos}} \otimes M_{\sigma_{\xi}}$를 구성한다.
• 양성 정수 격자 $L$에 대해 $V_L \otimes V_L$를 텐서곱으로 곱하여 격자 N=2 VOSA로 확장하고, 꼬임 모듈러스 구조를 유지한다.
• 이동된 모드에 대한 곱과 디디크 에타 함수 $\eta(q)$를 사용하여 꼬임 모듈러스의 $p,q$-중량 차원을 분석하고, $\mathrm{dim}_{p,q}$에 대한 명시적 공식을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 N=2 Neveu-Schwarz 대수의 유한 자동형사상에 대해, 주어진 N=2 VOSA에 대해 자동형사상으로서의 상향이 존재하는가?
• RQ2 N=2 초등형 대수의 표현으로서, $g$가 $\sigma_{\xi}$ 또는 미러 맵 $\kappa$의 상향일 경우, 그로 유도된 $g$-꼬임 $V$-모듈러스는 어떻게 분해되는가?
• RQ3 N=2 Neveu-Schwarz 대수의 미러 자동형사상 $\kappa$는 N=2 VOSA 자동형사상으로서 유일하게 상향되는가? 그리고 이는 미러-꼬임 모듈러스 카테고리에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 자유에서 격자 N=2 VOSA로 $\sigma_{\xi}$-꼬임 모듈러스의 구성법을 확장할 수 있는가? 그리고 격자 경우의 $p,q$-차원은 어떻게 변화하는가?
• RQ5 자유 및 격자 N=1 및 N=2 VOSA에 대해, 라몬-꼬임 섹터의 구조는 어떻게 되며, $\sigma$-꼬임 모듈러스와의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 자유 N=2 VOSA에 대해 $\sigma_{\xi}$-꼬임 모듈러스 $M_{\sigma_{\xi}}$는 이sov모듈러스를 제외하고 유일하게 결정되며, 중량 차원은 $\mathrm{dim}_q M_{\sigma_{\xi}} = q^{-d/24 + j^2d/2k^2} \prod_{r \in \mathbb{Z}+1/2 \mp j/k, r>0} (1+q^r)^d$ 로 주어진다.
• $\sigma_{\xi}$-꼬임 모듈러스 $V_{\text{bos}} \otimes V_{\text{bos}} \otimes M_{\sigma_{\xi}}$의 $p,q$-차원은 $q^{-d/24 + j^2d/2k^2} \eta(q)^{-2d} \prod_{r \in \mathbb{Z}+1/2 - j/k, r>0} (1+p^{-1}q^r)^d \prod_{r \in \mathbb{Z}+1/2 + j/k, r>0} (1+pq^r)^d$ 로 주어진다.
• 격자 N=2 VOSA의 경우, $\sigma_{\xi}$-꼬임 모듈러스의 $p,q$-차원은 자유 경우의 결과에 $\Theta(L)^2$를 곱한 것으로, 여기서 $\Theta(L)$는 격자 $L$의 제타 시리즈이다.
• N=2 Neveu-Schwarz 대수의 미러 자동형사상 $\kappa$는 N=2 VOSA 자동형사상으로서의 상향이 유일하지 않으며, 이는 비이sov모듈러스 카테고리의 존재를 초래한다.
• 자유 및 격자 N=1 및 N=2 VOSA에 대해, 라몬-꼬임 섹터는 $\sigma$-꼬임 모듈러스로 구성되며, $L^\sigma(0)$ 및 $J^\sigma(0)$는 스펙트럴 플로우 연산자로 작용한다.
• 정수 격자(필수로 짝수일 필요는 없음)의 경우, $\sigma_{\xi}$가 $V_L$의 홀수 부분에 비자명하게 작용할 때, $\sigma_{\xi}$-꼬임 모듈러스는 아직 구성되어 있지 않으며, 일반 격자 경우에 여전히 공백이 존재한다.