[논문 리뷰] Twisted Morse complexes

Augustin Banyaga, David Hurtubise외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 18.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 40인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 닫힌 다양체 위에서 국소 계수를 갖는 비틀린 모어스 homology와 cohomology를 개발하며, 특수 homology 및 cohomology와의 등장사상들을 증명한다. 이는 모어스 이론적 버전의 파oincaré 보조정리와 de Rham 정리를 수립하여, 비틀린 모어스 cohomology가 Lichnerowicz cohomology와 등장사상이 됨을 보이며, 이러한 도구들을 사용해 노비코프 수를 계산하고 H-space의 구조에 대한 장애를 탐지한다.

ABSTRACT

In this paper we study Morse homology and cohomology with local coefficients, i.e. "twisted" Morse homology and cohomology, on closed finite dimensional smooth manifolds. We prove a Morse theoretic version of Eilenberg's Theorem, and we prove isomorphisms between twisted Morse homology, Steenrod's CW-homology with local coefficients for regular CW-complexes, and singular homology with local coefficients. By proving Morse theoretic versions of the Poincare Lemma and of the de Rham Theorem, we show that twisted Morse cohomology with coefficients in a local system determined by a closed 1-form is isomorphic to the Lichnerowicz cohomology obtained by deforming the de Rham differential by the 1-form. We demonstrate the effectiveness of twisted Morse complexes by using them to compute Lichnerowicz cohomology, to compute obstructions to spaces being associative H-spaces, and to compute Novikov numbers.

연구 동기 및 목표

• 닫힌 미분 가능 다양체 위에서 국소 계수를 갖는 호몰로지 및 코호몰로지에 대한 모어스 이론적 프레임워크를 개발하는 것.
• 비틀린 모어스 호몰로지가 모어스-스멀 쌍의 선택에 영향을 받지 않고 국소 계수계의 등장사상 클래스에만 의존함을 증명하는 것.
• 비틀린 모어스 호몰로지와 국소 계수를 갖는 특수 호몰로지, 그리고 스틴로드의 CW-호몰로지 사이의 등장사상 수립.
• 비틀린 모어스 코호몰로지가 닫힌 1형식 $\eta$에 의해 정의된 계수계를 갖는 경우 Lichnerowicz 코호몰로지와 등장사상이 됨을 보여주는 것.
• 이 이론을 적용하여 노비코프 수를 계산하고, 공간이 결합법칙을 갖는 H-space가 되는 데 있어 장애를 탐지하는 것.

제안 방법

• 비틀린 모어스-스멀-위튼 체인 복합체를 구성하여 모어스 함수의 임계점과 기울기 흐름선을 사용하고, 아벨 군의 국소 계수계를 갖는다.
• 등장사상 클래스에만 의존하고 모어스-스멀 쌍의 선택에 영향을 받지 않는다는 불변성 정리를 증명한다.
• 커버링 공간을 통한 등변 호몰로지와의 관계를 연결하는 Eilenberg의 정리의 모어스 이론적 버전을 수립한다.
• 닫힌 1형식 $\eta$에 의해 정의된 국소 계수계를 갖는 비틀린 모어스 코체인 복합체를 정의하고, Lichnerowicz 코호몰로지로의 체인 사상 구축.
• 형식 $\eta$에 대한 비틀린 모어스 이론적 파oincaré 보조정리 및 de Rham 정리의 버전을 증명하여, 모어스 복합체와 de Rham 복합체 사이의 준등장사상 보장.
• 노비코프 링의 구조를 사용해 노비코프 모듈러스의 국소 계수계를 정의하고, 커버링 공간 구성법을 통해 노비코프 호몰로지와 비틀린 모어스 호몰로지를 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모어스 호몰로지를 국소 계수를 포함하도록 일반화할 수 있는가? 그리고 그 불변성 성질은 무엇인가?
• RQ2 비틀린 모어스 호몰로지가 국소 계수를 갖는 특수 호몰로지와 등장사상이 되는가? 이는 스틴로드의 CW-호몰로지와의 비교를 통해 증명될 수 있는가?
• RQ3 비틀린 모어스 코호몰로지를 Lichnerowicz 코호몰로지와 식별할 수 있는가? 그리고 이에 대한 고전 정리의 모어스 이론적 대응(예: 파oincaré 보조정리, de Rham 정리)은 무엇인가?
• RQ4 비틀린 모어스 복합체는 노비코프 수를 계산하고, H-space에서의 결합법칙의 위반과 같은 위상적 장애를 탐지하는 데 어떻게 활용될 수 있는가?
• RQ5 닫힌 1형식에 대한 비틀린 모어스 복합체의 오일러 지표와 노비코프-베티 수 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 국소 계수계 $G$를 갖는 비틀린 모어스 호몰로지는 특수 호몰로지와 등장사상이 되며, 이 등장사상은 모어스-스멀 쌍의 선택에 영향을 받지 않는다.
• 형식 $e^{\eta}$를 계수로 갖는 비틀린 모어스 코호몰로지는 파oincaré 보조정리 및 de Rham 정리의 모어스 이론적 버전을 통해 Lichnerowicz 코호몰로지 $H^{\ast}_{-\eta}(M)$와 등장사상이 된다.
• 성 2인 표면의 경우, 모든 닫힌 1형식에 대해 Lichnerowicz 코호몰로지가 명시적으로 계산되며, $\eta$가 정확형이 아닐 경우 $b_1(\eta) = 2$ 이고 $k \neq 1$ 이면 $b_k(\eta) = 0$ 임을 보여준다.
• 표면 위의 닫힌 1형식에 대한 노비코프 수는 비틀린 모어스 호몰로지를 통해 계산되며, 임의의 정확형이 아닌 $\zeta$에 대해 $b_1(\zeta) = 2$ 이고 $k \neq 1$ 이면 $b_k(\zeta) = 0$ 이며, 이는 비자명한 노비코프 부등식을 확인한다.
• 비틀린 모어스 복합체는 특정 공간이 결합법칙을 갖는 H-space가 아니라는 것을 장애 이론을 통해 탐지한다. 이는 복합체의 $H_0$의 영멸을 통해 보여진다.
• 비틀린 모어스 복합체의 오일러 지표는 1형식의 호모토피에 대해 불변이며, 이 불변성은 노비코프-베티 수를 계산하는 데 사용된다.