[논문 리뷰] Twisted stable maps to tame Artin stacks

Dan Abramovich, Martin Olsson외 1명|arXiv (Cornell University)|2008. 01. 19.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 9인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 희생된 아르틴 스택에 대한 비틀린 안정 사상의 모듈리 공간을 구축하며, 콘체비치의 안정 사상 이론을 스택으로 일반화한다. 비틀린 곡선과 Hom-스택을 사용하여, 비틀린 안정 사상의 스택이 안정 사상의 계수 모듈리 공간 위에서 올림직하고 유한하다는 것을 증명하며, 목표가 프로젝티브일 경우 계수 모듈리 공간이 프로젝티브가 된다.

ABSTRACT

This paper is a continuation of our earlier development of a theory of tame Artin stacks. Our main goal here is the construction of an appropriate analogue of Kontsevich's space of stable maps in the case where the target is a tame Artin stack. When the target is a tame Deligne--Mumford stack, the theory was developed by Abramovich and Vistoli, and found a number of applications. The theory for arbitrary tame Artin stacks developed here is very similar, but it is necessary to overcome a number of technical hurdles and to generalize a few questions of foundation.

연구 동기 및 목표

• 목표가 반드시 딜리뉴-무프 스택이 아니라도, 희생된 아르틴 스택의 맥락에서 콘체비치의 안정 사상 이론을 확장하기 위해.
• 임의의 특성에서 비틀린 곡선의 개념을 사용하여 비틀린 안정 사상을 정의하고 연구하기 위해, 이는 딜리뉴-무프일 수 없는 경우도 포함된다.
• 비틀린 안정 사상의 모듈리 스택의 기본 성질을 확립하기 위해, 특히 계수 모듈리 공간 위에서의 올림직성과 유한성.
• 유한 평탄 선형적으로 재구성 가능한 군 스킴 $G$에 대한 분류 스택 $\mathcal{B}G$의 경우를 분석하여, $\mathcal{M}_{g,n}$ 위에서의 유한성과 평탄성을 보여주기 위해.
• 이론을 적용하여, 두 가지 다른 스택 이론적 구성 방법을 통해 타원곡선의 전체 2차 구조를 가진 모듈리 공간 $X(2)$를 콪팩티피케이션하기 위해.

제안 방법

• 희생 스택 이론을 사용하여 비틀린 곡선을 정의하며, 특성에 관계없이 딜리뉴-무프 비틀린 곡선을 일반화한다.
• 비틀린 곡선의 스택 존재성(부록 A에서 확립됨)과 $\underline{\text{Hom}}$-스택의 유한성 성질(문헌 [35, 40]에서 유래되었으며 부록 C에서 확장됨)을 활용한다.
• 유한 평탄 선형적으로 재구성 가능한 군 스킴 $G$에 대해, $n$-점이 있는 종수 $g$의 비틀린 곡선에서 희생 스택 $\mathcal{M}$으로의 비틀린 안정 사상을 분류하는 스택 $\mathcal{K}_{g,n}(\mathcal{M})$를 구성한다.
• 일반화된 순수성 보조정리(보조정리 4.6)를 사용하여 올림직성을 증명하며, [5]에서의 핵심 기술 도구를 확장한다.
• 사상 $\mathcal{K}_{g,n}(\mathcal{M}) \to \mathcal{K}_{g,n}(M)$의 상대 기하학을 분석함으로써 유한성을 확립한다. 여기서 $M$은 $\mathcal{M}$의 계수 모듈리 공간이다.
• $\mathcal{B}G$-대상에 이론을 적용하여, $\mathcal{M}_{g,n}(\mathcal{B}G)$가 $\mathcal{M}_{g,n}$ 위에서 유한하고 평탄하다는 것을 보이며, $\underline{\text{Pic}}_{X/B}^\mathcal{G}[n]$ 위의 강하 및 토르서스의 구조를 이용해 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 콘체비치의 안정 사상 모듈리 공간은, 반드시 딜리뉴-무프 스택이 아니라도, 희생된 아르틴 스택으로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 비틀린 곡선은 양의 특성에서 어떻게 행동하는가? 그리고 변형에 대해 안정적인가?
• RQ3 비틀린 안정 사상의 스택은 안정 사상의 계수 모듈리 공간 위에서 올림직하고 유한한가?
• RQ4 유한 평탄 선형적으로 재구성 가능한 $G$에 대해 $\mathcal{M}_{g,n}(\mathcal{B}G)$의 구조는 어떠한가? 그리고 $\mathcal{M}_{g,n}$과의 관계는 무엇인가?
• RQ5 타원곡선의 전체 2차 구조를 가진 모듈리 공간 $X(2)$는 여러 기하학적으로 의미 있는 방식으로 비틀린 안정 사상을 통해 콱팩티피케이션될 수 있는가?

주요 결과

• 희생 아르틴 스택 $\mathcal{M}$으로의 비틀린 안정 사상의 스택 $\mathcal{K}_{g,n}(\mathcal{M})$는 기저 스킴 $S$ 위에서 국소적으로 유한형 대수적 스택이다.
• 계수 모듈리 공간 $M$의 콘체비치 공간으로의 자연스러운 사상 $\mathcal{K}_{g,n}(\mathcal{M}) \to \mathcal{K}_{g,n}(M)$은 올림직하고 유한하다.
• $M$이 체 위에서 프로젝티브일 경우, 고정된 목표 클래스 $\beta$를 가진 사상의 부분스택 $\mathcal{K}_{g,n}(\mathcal{M},\beta)$는 $\mathcal{K}_{g,n}(\mathcal{M})$ 내에서 올림직하고 열려 있고 닫혀 있다.
• $\mathcal{M} = \mathcal{B}G$이고 $G$가 유한 평탄 선형적으로 재구성 가능한 경우, 스택 $\mathcal{M}_{g,n}(\mathcal{B}G)$는 딜리뉴-무프 스택 $\mathcal{M}_{g,n}$ 위에서 유한하고 평탄하다.
• 전체 2차 구조를 가진 타원곡선의 모듈리 공간 $X(2)$는 $\mathcal{K}_{0,4}(\mathcal{B}\boldsymbol{\mu}_2)$와 $\mathcal{K}_{1,1}(\mathcal{B}\boldsymbol{\mu}_2^2)$ 양쪽 모두의 구성 요소로 나타나며, 기하학적으로 의미 있는 콱팩티피케이션을 이룬다.
• 카츠-마즈르 정규 모델은 이 콱팩티피케이션 중 하나의 일반성 섹션의 닫힘으로서 실현된다.