[논문 리뷰] Twisted triple product p-adic L-functions and Hirzebruch-Zagier cycles

Michele Fornea|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 11.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 전체 실수 체의 이중체 위의 유니터리 임계 모듈라 자동형 상전파에 대해, 변형된 삼중곱 L-함수의 중심값을 보간하는 p-진 L-함수를 구성한다. p-진 그로스-자지에르 공식을 증명하여 p-진 L-함수를 일반화된 히르체브루흐-자지에르 사이클의 심토픽 아벨-야코비 이미지와 연결함으로써, 실수 이중체와 분할된 소수의 경우 p-진 L-함수에 기하학적 산술적 의미를 제공한다.

ABSTRACT

Let $L/F$ be a quadratic extension of totally real number fields. For any prime $p$ unramified in $L$, we construct a $p$-adic $L$-function interpolating the central values of the twisted triple product $L$-functions attached to a $p$-nearly ordinary family of unitary cuspidal automorphic representations of $ ext{Res}_{L imes F/F}( ext{GL}_{2})$. Furthermore, when $L/\mathbb{Q}$ is a real quadratic number field and $p$ is a split prime, we prove a $p$-adic Gross-Zagier formula relating the value of the $p$-adic $L$-function outside the range of interpolation to the syntomic Abel-Jacobi image of generalized Hirzebruch-Zagier cycles.

연구 동기 및 목표

• 전체 실수 체의 이중체 L/F 위의 유니터리 임계 모듈라 자동형 상전파에 대해, 변형된 삼중곱 L-함수의 중심값을 보간하는 p-진 L-함수를 구성하는 것.
• 일반화된 히르체브루흐-자지에르 사이클의 심토픽 아벨-야코비 이미지와 관련지어 p-진 L-함수의 기하학적 해석을 설정하는 것.
• p-진 L-함수와 이러한 사이클이 삼중곱 L-함수와 그 p-진 변형의 프레임워크에서 중심적인 객체임을 뒷받침하는 증거를 제공하는 것.
• p-진 그로스-자지에르 공식을 통해 자동형과 기하학적 구성 간의 호환성을 검증하는 것.

제안 방법

• Res_{L×F/F}(GL₂) 위의 자동형 형식의 거의 정상형 프로젝션을 사용하여, 변형된 삼중곱 L-함수의 중심 L-값을 보간하는 p-진 L-함수를 구성한다.
• 페리앙-루의 기계를 적용하여, 유니터리 임계 모듈라 표현의 거의 정상형 가중치 가중치 가중치를 통해 특수값을 p-진 메로모르픽 함수로 보간한다.
• 심토픽 아벨-야코비 사상은 Kuga-Sato 유형의 다양체 위의 일반화된 히르체브루흐-자지에르 사이클에 코homological 클래스를 부여한다.
• 모듈라 형식의 de Rham 실현과 초수렴성 층형식 이론을 이용하여 p-진 모듈라 형식과 아벨-야코비 이미지 간의 관계를 규명한다.
• 미분 연산자와 대각 제약 사상은 힐베르트 모듈라 형식의 코homological 자료를 삼중곱 구조와 연결하는 데 사용된다.
• p-진 설정에서 정수 모델과 컴acts이션 이론을 적용하여 p-진 그로스-자지에르 공식의 기하학적 측면을 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전체 실수 체의 이중체 위의 유니터리 임계 모듈라 자동형 상전파에 대해, 변형된 삼중곱 L-함수의 중심값을 보간하는 p-진 L-함수를 구성할 수 있는가?
• RQ2 특히 일반화된 히르체브루흐-자지에르 사이클을 통해, p-진 L-함수에 기하학적 해석이 존재하는가?
• RQ3 실수 이중체와 분할된 소수의 경우, p-진 L-함수의 보간 범위 외부의 값이 이러한 사이클의 심토픽 아벨-야코비 이미지와 대응하는가?
• RQ4 p-진 L-함수는 초수렴성 층형식과 거의 정상형 프로젝션에서 유래한 코homological 자료로 표현될 수 있는가?
• RQ5 삼중곱 L-함수의 맥락에서, p-진 L-함수와 사이클의 아벨-야코비 이미지 사이의 p-진 그로스-자지에르 공식이 존재하는가?

주요 결과

• Res_{L×F/F}(GL₂) 위에서 p-거의 정상형 가중치 가중치 가중치를 갖는 유니터리 임계 모듈라 자동형 상전파의 가중치 가중치 가중치에 대해, 중심값을 보간하는 p-진 L-함수가 구성된다.
• L/Q가 실수 이중체이고 p가 분할된 소수일 경우, p-진 L-함수의 비중앙점에서의 값은 일반화된 히르체브루흐-자지에르 사이클의 심토픽 아벨-야코비 이미지와 비례함을 보여준다.
• 공식은 p-진 L-함수를 아벨-야코비 이미지의 유리수 배로 표현하며, 이 배수는 p-진 L-정상치와 오일러 인자들을 포함한다.
• 사이클 Δℓ,k의 아벨-야코비 이미지는 cuspform f*와 관련된 미분형식의 거의 정상형 프로젝션을 통해 명시적으로 계산된다.
• 특정 점들에서 관련 갈루아 표현이 가역적일 경우 p-진 L-함수가 0이 됨을 보여주며, 이는 그로스-자지에르 설정에서 예상되는 비영의 행동과 일치한다.
• 결과는 p-진 L-함수와 일반화된 히르체브루흐-자지에르 사이클이 삼중곱 L-함수와 그 p-진 보간의 맥락에서 고려할 만한 올바른 기하학적 및 자동형 객체임을 확인한다.